Lingkaran - Matematika Kelas 9 SMP

Tujuan belajar

Kamu akan mengenali unsur lingkaran serta menghitung keliling, luas, panjang busur, dan luas juring. Pengetahuan ini menjadi dasar untuk mempelajari tabung, kerucut, dan bola.

Pusat, jari-jari, dan diameter

Lingkaran adalah himpunan titik pada bidang yang berjarak sama dari satu titik pusat. Jarak itu disebut jari-jari, ditulis r. Diameter, ditulis d, adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melalui pusat. Hubungannya d = 2r, sehingga r = d/2.

Tidak semua ruas yang menghubungkan dua titik lingkaran merupakan diameter. Ruas seperti itu disebut tali busur; diameter adalah tali busur khusus yang melalui pusat. Busur adalah bagian lengkung pada lingkaran, sedangkan juring adalah daerah yang dibatasi dua jari-jari dan busur di antaranya. Sudut yang dibentuk kedua jari-jari pada pusat disebut sudut pusat.

Pada gambar, sudut 90 derajat merupakan seperempat putaran penuh. Busur yang disorot adalah bagian batas lengkung, sedangkan daerah berwarna adalah juring. Menghitung panjang busur berbeda dari menghitung luas daerahnya.

Pi dan keliling

Konstanta pi adalah perbandingan keliling terhadap diameter setiap lingkaran. Nilai pi tidak tepat sama dengan 3,14 atau 22/7; keduanya merupakan pendekatan. Dalam rumus kita dapat mempertahankan pi untuk jawaban eksak. Jika soal meminta pendekatan, gunakan nilai yang ditentukan dan lakukan pembulatan pada tahap akhir.

Keliling lingkaran adalah K = pi d = 2 pi r. Untuk r = 7 cm, keliling eksaknya 14 pi cm. Dengan pi = 22/7 sebagai pendekatan, diperoleh K = 44 cm. Jika diketahui diameter 20 cm dan dipakai pi = 3,14, kelilingnya 62,8 cm. Jangan mengganti r dengan diameter dalam rumus 2 pi r.

Keliling digunakan untuk menghitung panjang satu putaran mengelilingi tepi lingkaran. Roda yang menggelinding tanpa selip sejauh lima putaran menempuh lima kali kelilingnya, dengan asumsi ukuran roda tetap. Jika jarak dan diameter menggunakan satuan berbeda, samakan dulu sebelum membagi untuk mencari banyak putaran.

Luas daerah lingkaran

Luas daerah yang dibatasi lingkaran adalah L = pi r^2. Tanda ^ berarti pangkat. Secara intuitif, lingkaran dapat dipotong menjadi banyak juring kecil dan disusun menyerupai persegi panjang. Panjang susunan mendekati setengah keliling, yaitu pi r, dan tingginya mendekati r, sehingga luasnya pi r^2.

Lingkaran berdiameter 14 cm memiliki r = 7 cm. Dengan pi = 22/7, luasnya (22/7) x 49 = 154 cm persegi. Memasukkan diameter 14 sebagai r akan menghasilkan luas empat kali terlalu besar. Keliling memakai satuan panjang, sedangkan luas memakai satuan persegi.

Untuk dua lingkaran sepusat dengan jari-jari luar R dan dalam r, luas cincin di antaranya pi(R^2 - r^2). Jika R = 7 cm dan r = 3 cm, luas cincin = pi(49 - 9) = 40 pi cm persegi. Rumus pi(R - r)^2 tidak benar karena selisih kuadrat berbeda dari kuadrat selisih.

Panjang busur

Jika sudut pusat suatu busur adalah theta derajat, bagiannya terhadap satu putaran adalah theta/360. Karena itu panjang busur = (theta/360) x 2 pi r. Gunakan busur yang sesuai dengan sudut tersebut; busur kecil dan busur besar pada dua titik yang sama memiliki panjang berbeda.

Untuk r = 14 cm dan theta = 90 derajat, keliling dengan pi = 22/7 adalah 88 cm. Panjang busur = (90/360) x 88 = 22 cm. Jika sudutnya 270 derajat, busur yang dimaksud tiga perempat putaran dan panjangnya 66 cm.

Jika r tetap, panjang busur sebanding dengan sudut pusat. Busur 120 derajat dua kali panjang busur 60 derajat pada lingkaran yang sama. Hubungan ini tidak otomatis berlaku untuk dua lingkaran berjari-jari berbeda; kelilingnya juga harus diperhitungkan.

Luas juring dan keliling juring

Luas juring juga memakai bagian theta/360, tetapi dikalikan luas lingkaran, bukan kelilingnya: luas juring = (theta/360) x pi r^2. Pada r = 14 cm, theta = 90 derajat, dan pi = 22/7, luas lingkaran 616 cm persegi. Jadi luas juring = 616/4 = 154 cm persegi.

Keliling juring biasa terdiri dari busur ditambah dua jari-jari. Untuk contoh seperempat lingkaran itu, keliling daerah juring = 22 + 14 + 14 = 50 cm. Panjang busur saja 22 cm, sedangkan seluruh batas juring 50 cm. Pada lingkaran penuh 360 derajat, batas daerahnya hanya keliling lingkaran; tidak ada dua sisi radial luar yang perlu ditambahkan.

Daerah gabungan dan bagian batas yang dihitung

Setengah lingkaran berdiameter 14 cm mempunyai luas setengah luas lingkaran, yaitu 77 cm persegi jika pi = 22/7. Panjang busurnya setengah keliling, yaitu 22 cm, tetapi keliling daerah setengah lingkaran 22 + 14 = 36 cm karena diameter ikut membatasi daerah.

Jika sebuah persegi sisi 14 cm memuat lingkaran dalam berjari-jari 7 cm, luas bagian persegi di luar lingkaran adalah 196 - 154 = 42 cm persegi. Gunakan selisih luas dua daerah. Untuk panjang batas, telusuri kurva atau ruas yang benar-benar menjadi tepi daerah; jangan langsung mengurangkan keliling tanpa memeriksa bentuknya.

Perubahan ukuran dan pemeriksaan

Jika jari-jari dikalikan k positif, keliling berubah k kali, sedangkan luas berubah k^2 kali. Lingkaran dengan jari-jari dua kali semula memiliki keliling dua kali dan luas empat kali. Untuk juring dengan sudut pusat tetap, aturan yang sama berlaku pada panjang busur dan luas juring.

Sebagai pemeriksaan, luas juring dengan sudut antara 0 dan 360 derajat tidak melebihi luas lingkaran penuhnya. Panjang busurnya juga tidak melebihi satu keliling. Periksa satuan untuk menghindari tertukarnya kedua rumus tersebut.

Cek pemahaman

Gunakan pi = 22/7 untuk soal hitung berikut.

1. Tentukan keliling dan luas lingkaran berdiameter 28 cm.
2. Tentukan panjang busur 60 derajat pada lingkaran berjari-jari 21 cm.
3. Tentukan luas juring pada soal kedua.
4. Tentukan keliling daerah setengah lingkaran berdiameter 28 cm.

Pembahasan

1. r = 14 cm. K = 88 cm dan L = 616 cm persegi.
2. Keliling 132 cm, sehingga busur = 132/6 = 22 cm.
3. Luas lingkaran 1386 cm persegi, sehingga luas juring = 1386/6 = 231 cm persegi.
4. Setengah keliling 44 cm ditambah diameter 28 cm, jadi 72 cm.

Ringkasan

Tentukan dahulu jari-jari dan bagian lingkaran yang diminta. Keliling 2 pi r, luas pi r^2, panjang busur bagian dari keliling, dan luas juring bagian dari luas lingkaran. Panjang batas juring atau setengah lingkaran juga mencakup ruas lurus pembatasnya.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, ilustrasi, dan contoh baru berdasarkan Bab 2 bagian D, Matematika untuk SMP/MTs Kelas IX (2022), halaman 80-97 (halaman PDF 100-117).