Refleksi (Pencerminan) - Matematika Kelas 9 SMP

Tujuan belajar

Kamu akan memahami sifat cermin, menentukan bayangan pada beberapa garis refleksi, dan membedakan refleksi terhadap garis dari refleksi terhadap titik pusat.

Jarak sama dan arah tegak lurus

Jika titik $P$ tidak terletak pada garis cermin, ruas $PP'$ tegak lurus garis cermin dan titik tengahnya terletak pada cermin. Jarak $P$ dan $P'$ ke cermin sama. Ukurlah jarak secara tegak lurus, bukan dengan sembarang garis miring.

Titik pada garis cermin tetap di tempatnya. Pada kasus itu, $P=P'$ sehingga ruas penghubungnya tidak mempunyai panjang positif; tidak perlu memaksakan arah ruas tersebut. Refleksi terhadap garis mempertahankan panjang, sudut, luas, dan keliling, tetapi membalik orientasi urutan titik sudut suatu bangun.

Aturan terhadap sumbu dan garis diagonal

Cermin	Bayangan $(x,y)$
Sumbu x	$(x,-y)$
Sumbu y	$(-x,y)$
Garis $y=x$	$(y,x)$
Garis $y=-x$	$(-y,-x)$

Untuk $P(3,-2)$, bayangan terhadap sumbu x adalah $(3,2)$, terhadap sumbu y $(-3,-2)$, terhadap $y=x$ adalah $(-2,3)$, dan terhadap $y=-x$ adalah $(2,-3)$. Menukar koordinat saja sesuai untuk cermin $y=x$, bukan untuk semua pencerminan.

Gambar menunjukkan seluruh titik sudut dicerminkan. Dua bangun tampak berlawanan arah, tetapi sisi yang bersesuaian tetap sama panjang. Refleksi dua kali terhadap garis yang sama mengembalikan setiap titik ke tempat semula.

Cermin yang tidak melalui titik asal

Untuk garis tegak $x=k$, bayangannya $(2k-x,y)$. Koordinat mendatar titik tengah harus $k$, sehingga $\frac{x+x'}{2}=k$. Untuk garis mendatar $y=h$, aturannya $(x,2h-y)$.

Titik $P(-1,4)$ dicerminkan pada $x=2$ menjadi $(5,4)$. Titik tengah kedua titik adalah $(2,4)$ dan masing-masing berjarak 3 satuan ke cermin. Titik $Q(2,3)$ dicerminkan pada $y=-1$ menjadi $(2,-5)$, karena $2(-1)-3=-5$.

Refleksi terhadap titik

Refleksi terhadap titik asal $O(0,0)$ memberi $(x,y)\mapsto(-x,-y)$. Titik asal menjadi titik tengah pasangan titik dan bayangannya. Transformasi ini sama dengan rotasi $180^\circ$ terhadap O; sifat orientasinya berbeda dari satu refleksi terhadap garis.

Refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan sumbu y juga menghasilkan $(-x,-y)$. Sebagai pengayaan, refleksi terhadap titik $C(a,b)$ memberi $(2a-x,2b-y)$.

Garis dan urutan pencerminan

Untuk merefleksikan garis, cerminkan dua titik berbeda di atasnya. Garis $y=2x+3$ direfleksikan terhadap sumbu x menjadi $y=-2x-3$. Misalnya $(0,3)$ menjadi $(0,-3)$ dan $(1,5)$ menjadi $(1,-5)$.

Dua cermin sejajar dapat menghasilkan translasi. Refleksi pada $x=2$ lalu $x=5$ memberi $x'=4-x$ dan $x''=10-x'=x+6$, sedangkan y tetap. Urutan sebaliknya memberi pergeseran ke kiri 6 satuan. Selalu ikuti urutan yang diminta soal.

Cek pemahaman

1. Cerminkan $P(-2,5)$ pada sumbu x.
2. Cerminkan $Q(4,-1)$ pada $y=x$.
3. Cerminkan $R(1,2)$ pada $x=3$.

Pembahasan

1. $P'(-2,-5)$.
2. $Q'(-1,4)$.
3. $R'(5,2)$; titik tengahnya $(3,2)$.

Ringkasan

Pilih aturan sesuai cermin. Periksa jarak dan titik tengah, bedakan refleksi garis dan titik, serta kerjakan pencerminan berurutan tahap demi tahap.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, ilustrasi, dan contoh baru berdasarkan Bab 3 bagian B, Matematika untuk SMP/MTs Kelas IX (2022), halaman 146-165 (halaman PDF 166-185).