Persamaan Linear Dua Variabel - Matematika Kelas 9 SMP

Tujuan belajar

Kamu akan mengenali persamaan linear dua variabel, menyusun model dari cerita, memeriksa pasangan penyelesaian, dan menggambarkan himpunan penyelesaian sesuai domainnya. Materi ini menjadi dasar untuk mempelajari sistem persamaan linear dua variabel pada subbab berikutnya.

Dari satu variabel menjadi dua variabel

Persamaan 3x + 2 = 14 hanya memuat satu variabel. Persamaan 2x + y = 10 memuat dua variabel, yaitu x dan y, yang nilainya saling berkaitan. Mengetahui persamaan kedua saja belum menentukan satu pasangan nilai yang unik. Jika x = 1, maka y = 8; jika x = 3, maka y = 4. Kedua pasangan tersebut memenuhi persamaan yang sama.

Persamaan linear dua variabel dapat ditulis sebagai ax + by = c, dengan a, b, dan c bilangan real serta a dan b tidak sekaligus nol. Huruf x dan y adalah variabel; a dan b adalah koefisien, sedangkan c adalah konstanta. Nama variabel dapat diganti, misalnya p dan q, selama artinya jelas dan konsisten.

Kata linear menyatakan bahwa persamaan dapat disederhanakan ke bentuk tersebut. Variabel tidak berpangkat dua, tidak saling dikalikan, dan tidak berada dalam penyebut yang bergantung pada variabel. Pada penulisan di sini, tanda ^ berarti pangkat, misalnya x^2 berarti x kuadrat.

Mengenali bentuk linear

Persamaan	Penjelasan
3x + 2y = 12	Linear, sudah berbentuk ax + by = c
2p = 8 - q	Linear, dapat ditulis 2p + q = 8
x/2 + y/3 = 4	Linear; penyebut 2 dan 3 adalah konstanta
x^2 + y = 10	Bukan linear karena ada x kuadrat
xy = 12	Bukan linear karena kedua variabel dikalikan
1/x + y = 3	Bukan bentuk linear; x berada di penyebut

Persamaan x/2 + y/3 = 4 dapat dikalikan 6 pada kedua ruas sehingga menjadi 3x + 2y = 24. Bilangan pecahan sebagai koefisien tidak membuat persamaan menjadi tidak linear. Yang perlu diperhatikan adalah bentuk keterlibatan variabelnya.

Dalam bentuk umum garis pada bidang koordinat, salah satu koefisien boleh nol: x = 4 membentuk garis tegak dan y = 3 membentuk garis mendatar. Kedua koefisien tidak boleh sekaligus nol. Persamaan 0x + 0y = 0 dipenuhi semua titik bidang, sehingga bukan satu garis tertentu.

Menentukan arti variabel dan satuannya

Dalam contoh pembelian hipotetis, dua buku dan tiga pensil berharga Rp16.000. Misalkan x adalah harga satu buku dalam rupiah dan y harga satu pensil dalam rupiah. Model matematikanya 2x + 3y = 16000. Angka 2 dan 3 menyatakan jumlah barang, sedangkan x dan y menyatakan harga satuan.

Jika ingin menyederhanakan angka, boleh mendefinisikan x dan y dalam ribuan rupiah. Dengan definisi baru itu, persamaannya menjadi 2x + 3y = 16. Nilai x = 5 berarti harga buku Rp5.000, bukan Rp5. Tetapkan satuan sebelum menghitung agar model tidak tercampur.

Contoh geometri: panjang dua sisi yang sama pada segitiga sama kaki adalah s cm dan panjang alasnya a cm. Jika kelilingnya 28 cm, modelnya 2s + a = 28. Konteks menuntut s dan a positif serta a < 2s agar segitiga tidak menjadi garis lurus. Persamaan keliling saja belum memuat semua syarat bangunnya.

Pasangan berurutan sebagai penyelesaian

Penyelesaian ditulis sebagai pasangan (x, y). Pada persamaan 2x + y = 10, pasangan (3, 4) berarti x = 3 dan y = 4. Pemeriksaannya adalah 2(3) + 4 = 6 + 4 = 10. Jadi pasangan tersebut merupakan penyelesaian.

Urutan koordinat penting. Pasangan (4, 3) menghasilkan 2(4) + 3 = 11, sehingga tidak memenuhi persamaan. Jangan menganggap pasangan yang dibalik selalu menjadi penyelesaian juga.

Untuk mencari nilai y jika x sudah diketahui, susun ulang menjadi y = 10 - 2x. Jika x = -1, diperoleh y = 12. Jika x = 1/2, diperoleh y = 9. Keduanya benar secara aljabar, tetapi apakah boleh digunakan bergantung pada domain atau himpunan nilai yang diizinkan.

Domain bilangan cacah

Bilangan cacah adalah 0, 1, 2, 3, dan seterusnya. Jika x dan y harus bilangan cacah, persamaan 2x + y = 10 hanya mempunyai enam pasangan penyelesaian berikut.

x	y = 10 - 2x	Pasangan
0	10	(0, 10)
1	8	(1, 8)
2	6	(2, 6)
3	4	(3, 4)
4	2	(4, 2)
5	0	(5, 0)

Daftar ini lengkap karena x lebih besar dari 5 membuat y negatif. Nilai x negatif juga tidak diizinkan. Pada grafik, gambarkan enam titik terpisah; jangan menghubungkan titik-titik menjadi semua titik pada ruas garis jika domainnya hanya bilangan cacah.

Domain bilangan bulat dan real

Jika x dan y harus bilangan bulat, pasangan (-1, 12) dan (6, -2) ikut menjadi penyelesaian. Semua pasangan dapat ditulis (k, 10 - 2k), dengan k bilangan bulat. Terdapat tak hingga banyak pasangan, tetapi titik-titiknya tetap terpisah. Pasangan (1/2, 9) tidak masuk karena 1/2 bukan bilangan bulat.

Jika domainnya bilangan real, nilai pecahan dan desimal juga diperbolehkan. Semua pasangan berbentuk (t, 10 - 2t), dengan t bilangan real, merupakan penyelesaian. Grafiknya satu garis lurus penuh. Ruas antara (0, 10) dan (5, 0) hanya sebagian garis tersebut; grafik real juga memanjang ke arah koordinat negatif.

Pada gambar, garis real ditampilkan hanya dalam jendela koordinat yang terbatas. Titik di luar jendela masih termasuk penyelesaian bila memenuhi persamaan. Jika konteks membatasi kedua variabel tidak negatif, bagian real yang boleh dipakai menyusut menjadi ruas garis dari (0, 10) sampai (5, 0).

Menggambar grafik untuk domain real

Dua titik berbeda cukup menentukan garis. Untuk 2x + y = 10, carilah titik potong sumbu:

1. Pada sumbu y, x = 0 sehingga y = 10. Titiknya (0, 10).
2. Pada sumbu x, y = 0 sehingga 2x = 10 dan x = 5. Titiknya (5, 0).
3. Plot kedua titik pada bidang Kartesius dengan skala yang jelas, lalu tarik garis melalui keduanya.
4. Periksa titik lain, misalnya (3, 4), untuk memastikan perhitungan dan gambar sesuai.

Membuat tabel nilai merupakan cara lain yang setara. Skala pada setiap sumbu harus teratur. Jika grafik digunakan untuk membaca nilai pecahan, hasil bacaan dapat berupa perkiraan; substitusi ke persamaan membantu memeriksa ketepatannya.

Satu persamaan belum tentu menentukan harga satuan

Dari 2x + 3y = 16 dengan satuan ribuan rupiah, pasangan (5, 2) memenuhi karena 10 + 6 = 16. Pasangan (2, 4) juga memenuhi karena 4 + 12 = 16. Jadi satu transaksi saja pada contoh ini belum cukup untuk menentukan kedua harga secara unik.

Kita memerlukan informasi tambahan yang sesuai, misalnya transaksi kedua dengan jumlah barang berbeda. Kedua persamaan kemudian harus dipenuhi oleh pasangan harga yang sama. Itulah gagasan sistem persamaan linear dua variabel yang dipelajari berikutnya. Tetap perhatikan batas konteks: harga tidak negatif dan jumlah barang utuh tidak boleh berupa pecahan jika memang dijual satuan.

Cek pemahaman

1. Apakah 4p - 3q = 7 merupakan persamaan linear dua variabel?
2. Apakah (2, 6) memenuhi 2x + y = 10?
3. Tentukan y ketika x = -2 pada persamaan 2x + y = 10.
4. Apakah (1/2, 9) termasuk penyelesaian jika domainnya bilangan cacah?
5. Tiga tiket dewasa dan dua tiket anak berharga Rp80.000. Tuliskan modelnya jika d dan a menyatakan harga satu tiket dalam rupiah.

Pembahasan

1. Ya, variabel p dan q berpangkat satu tanpa perkalian antarvariabel.
2. Ya, karena 2(2) + 6 = 10.
3. y = 10 - 2(-2) = 14.
4. Tidak. Persamaannya benar, tetapi x = 1/2 bukan bilangan cacah.
5. Modelnya 3d + 2a = 80000. Kedua variabel menyatakan harga satuan, bukan banyak pengunjung.

Ringkasan

Persamaan linear dua variabel menghubungkan dua nilai dan dapat ditulis ax + by = c. Penyelesaiannya berupa pasangan berurutan yang memenuhi persamaan sekaligus memenuhi domain. Untuk domain real, grafiknya garis lurus. Domain cacah atau bulat menghasilkan titik-titik yang diizinkan saja. Definisikan variabel dan satuan sebelum membuat model dari cerita.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, ilustrasi, dan contoh baru berdasarkan Bab 1 bagian A, Matematika untuk SMP/MTs Kelas IX (2022), halaman 2-12 (halaman PDF 22-32).