Bilangan Berpangkat Bulat - Matematika Kelas 8 SMP

Tujuan belajar

Kamu akan menjelaskan arti pangkat, membedakan basis dan eksponen, menggunakan sifat perpangkatan, serta menghitung pangkat nol dan negatif dengan memperhatikan syaratnya. Dalam materi ini, tanda ^ pada penulisan seperti 2^3 berarti pangkat, sehingga dibaca dua pangkat tiga.

Pangkat adalah perkalian faktor yang sama

Untuk n bilangan bulat positif, a^n berarti perkalian n faktor yang masing-masing bernilai a. Contohnya 3^4 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81. Angka 3 adalah basis atau bilangan pokok; angka 4 adalah eksponen atau pangkat. Ini berbeda dari 3 x 4 = 12.

Bentuk	Perkalian	Nilai
2^1	2	2
2^2	2 x 2	4
2^3	2 x 2 x 2	8
2^4	2 x 2 x 2 x 2	16
2^5	2 x 2 x 2 x 2 x 2	32

Pangkat tidak hanya memakai basis bilangan bulat. Contohnya (1/2)^3 = 1/8 dan (0,2)^2 = 0,04. Kubus dengan rusuk 4 cm memiliki volume 4^3 = 64 cm kubik karena ketiga ukuran panjang dikalikan.

Basis negatif dan tanda kurung

Jika basis negatif berpangkat genap, faktor negatif berpasangan sehingga hasilnya positif. Contoh (-3)^4 = 81. Jika pangkatnya ganjil, ada satu faktor negatif tersisa sehingga hasilnya negatif: (-3)^3 = -27.

Perhatikan batas basis: (-2)^4 = 16, tetapi -2^4 = -(2^4) = -16. Pada bentuk kedua, pangkat dikerjakan lebih dahulu sebelum tanda negatif di luar. Untuk pangkat ganjil, (-2)^3 dan -2^3 kebetulan sama-sama -8; satu contoh tersebut tidak membuktikan keduanya sama pada semua pangkat.

Perkalian dan pembagian dengan basis sama

Pada perkalian, gabungkan banyak faktor: a^m x a^n = a^(m+n). Contohnya 2^3 x 2^4 = 2^7 = 128. Basis harus sama jika kamu langsung menjumlahkan eksponen. Bentuk 2^3 x 3^4 tidak dapat diubah menjadi 6^7.

Untuk pembagian, a^m : a^n = a^(m-n) dengan a bukan nol. Contohnya 5^6 : 5^2 = 5^4 = 625. Pengurangan eksponen menjelaskan banyak faktor setelah faktor yang sama disederhanakan.

Sifat ini tidak berlaku pada penjumlahan: 2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24, bukan 2^7. Kenali dahulu tanda operasinya sebelum memakai aturan pangkat.

Pangkat dipangkatkan dan pangkat suatu hasil kali

Pada (a^m)^n, kalikan eksponennya: (a^m)^n = a^(mn). Misalnya (3^2)^3 = 3^6 = 729. Bentuk ini berbeda dari perkalian 3^2 x 3^3 = 3^5.

Pangkat pada kurung berlaku untuk seluruh faktor: (ab)^n = a^n b^n. Maka (2x)^3 = 8x^3, bukan 2x^3. Untuk pembagian, (a/b)^n = a^n/b^n jika b bukan nol. Contohnya (2/3)^2 = 4/9.

Tidak ada aturan umum (a + b)^2 = a^2 + b^2. Sebagai pemeriksaan, (2 + 3)^2 = 25, sedangkan 2^2 + 3^2 = 13. Hasil yang benar melibatkan suku tengah: (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Pangkat nol

Untuk a bukan nol, a^0 = 1. Alasannya, a^3 : a^3 = 1, sementara aturan pembagian memberi a^(3-3) = a^0. Jadi 7^0 = 1 dan (-5)^0 = 1.

Syarat a bukan nol tidak boleh dihilangkan. 0^0 tidak didefinisikan dalam materi ini. Sebaliknya, nol berpangkat bulat positif bernilai nol, seperti 0^3 = 0.

Pangkat negatif

Pangkat negatif menyatakan kebalikan, bukan tanda hasil negatif: a^(-n) = 1/a^n untuk a bukan nol dan n bilangan bulat positif. Contohnya 2^(-3) = 1/8 serta 10^(-4) = 0,0001.

Pola ini menjaga aturan pangkat tetap konsisten: 2^3 x 2^(-3) = 2^0 = 1. Untuk basis negatif, hitung tandanya: (-2)^(-3) = 1/(-8) = -1/8.

Jika basis berupa pecahan, pangkat negatif membalik pecahan terlebih dahulu: (2/3)^(-2) = (3/2)^2 = 9/4. Nol tidak boleh dipangkatkan negatif karena akan menghasilkan pembagian dengan nol.

Operasi campuran dan model pertumbuhan

Hitung pangkat terlebih dahulu, lalu perkalian atau pembagian, kemudian penjumlahan atau pengurangan. Contoh 2^3 + 3 x 2^2 = 8 + 12 = 20.

Dalam model permainan, satu pesan diteruskan ke 3 penerima baru pada tiap putaran, dan semua penerima berbeda. Banyak penerima baru pada putaran ke-n adalah 3^n. Putaran ketiga mendapat 27 penerima baru. Total penerima sampai putaran ketiga berbeda: 3 + 9 + 27 = 39. Bedakan jumlah pada satu putaran dari jumlah kumulatif, dan gunakan asumsi tidak ada penerima ganda.

Cek pemahaman

1. Tulis 5 x 5 x 5 sebagai pangkat dan hitung nilainya.
2. Hitung (-2)^4 dan -2^4.
3. Sederhanakan 3^5 x 3^(-2).
4. Hitung (1/2)^(-3).
5. Mengapa 0^(-2) tidak terdefinisi?

Pembahasan

1. 5^3 = 125.
2. 16 dan -16; tanda kurung menentukan basisnya.
3. 3^(5-2) = 3^3 = 27.
4. 2^3 = 8.
5. Bentuk itu memerlukan 1/0^2, yaitu pembagian dengan nol.

Ringkasan

Pangkat positif menghitung banyak faktor yang sama. Pada basis sama, perkalian menjumlahkan eksponen dan pembagian mengurangkannya. Pangkat nol bernilai 1 untuk basis bukan nol; pangkat negatif memberi kebalikan. Periksa tanda kurung dan syarat basis sebelum menghitung.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan dan contoh baru berdasarkan Bab 1 bagian A, Matematika untuk SMP/MTs Kelas VIII (2022), halaman 5-26 (halaman PDF 25-46).