Menemukan Konsep Pertidaksamaan Linier Satu Variabel - Matematika Kelas 8 SMP

Tujuan belajar

Kamu akan mengenali pertidaksamaan linier satu variabel, menerjemahkan batas jumlah dari kata-kata, memeriksa anggotanya, serta menggambarkan himpunan penyelesaian pada garis bilangan.

Persamaan dan pertidaksamaan

Persamaan seperti x = 5 menyatakan nilai yang sama. Pertidaksamaan seperti x < 5 menyatakan perbandingan; banyak nilai dapat memenuhinya. Tanda yang digunakan adalah <, >, ≤, atau ≥.

Simbol	Makna	Contoh anggota
x < 5	x kurang dari 5	4; 4,9; 0; -2
x > 5	x lebih dari 5	6; 5,1; 10
x ≤ 5	x kurang dari atau sama dengan 5	5 dan semua yang lebih kecil
x ≥ 5	x lebih dari atau sama dengan 5	5 dan semua yang lebih besar

Simbol ≤ dan ≥ menyertakan kesamaan. Pada x < 5, angka 5 tidak termasuk; pada x ≤ 5, angka 5 termasuk. Himpunan nilai bergantung pada semesta, misalnya real, bulat, atau cacah.

Ciri bentuk linier satu variabel

Pertidaksamaan linier satu variabel dapat ditulis sebagai perbandingan ax + b dengan nol, dengan a bukan nol. Hanya satu jenis variabel berpangkat satu setelah disederhanakan.

Bentuk 2x + 3 < 11 dan 5 - 3y ≥ 8 merupakan contoh. Bentuk x^2 < 9 bukan linier, sedangkan x + y ≤ 10 mempunyai dua variabel. Bentuk 2x + 3 = 11 adalah persamaan, bukan pertidaksamaan.

Koefisien negatif tidak membuat bentuknya tidak linier. Pada -4x + 7 > 3, variabel tetap berpangkat satu. Pangkat variabel yang menentukan sifat liniernya, bukan tanda koefisien.

Menerjemahkan kata pembatas

Kalimat	Model untuk jumlah n
Kurang dari 20	n < 20
Lebih dari 20	n > 20
Paling banyak 20	n ≤ 20
Tidak lebih dari 20	n ≤ 20
Maksimal 20	n ≤ 20
Paling sedikit 20	n ≥ 20
Tidak kurang dari 20	n ≥ 20
Setidaknya 20	n ≥ 20

Kata paling banyak atau maksimal masih mengizinkan batasnya. Sebaliknya, kurang dari tidak mengizinkan batas. Jangan mengubah tidak lebih dari 20 menjadi n < 20.

Kata sehari-hari seperti hanya kadang bergantung konteks dan dapat berarti jumlah tepat atau batas kapasitas. Gunakan keterangan eksplisit pada soal. Jika yang dimaksud tepat 20, modelnya n = 20; jika kapasitas paling banyak 20, modelnya n ≤ 20.

Memeriksa calon penyelesaian

Untuk 2x + 1 ≤ 9, nilai x = 4 memenuhi karena 2 x 4 + 1 = 9 dan 9 ≤ 9 benar. Nilai x = 5 tidak memenuhi karena 11 ≤ 9 salah. Nilai x = -1 juga memenuhi karena -1 ≤ 9 benar, jika semestanya mengizinkan bilangan negatif.

Pemeriksaan ini sama idenya dengan substitusi pada persamaan. Perbedaannya, kita mengecek hubungan perbandingan, bukan harus memperoleh kedua ruas sama.

Garis bilangan: batas dan arah

Pada garis bilangan, titik kosong berarti batas tidak termasuk, sedangkan titik penuh berarti batas termasuk. Daerah ke kiri menyatakan nilai lebih kecil; daerah ke kanan menyatakan nilai lebih besar.

Sketsa berikut hanya menjelaskan arah dan batas. Huruf o adalah titik kosong dan * titik penuh; letak batasnya dinyatakan pada label, bukan diukur dari karakter teks.

x < 3     <=======o-------->   o pada 3
x <= 3    <=======*-------->   * pada 3
x > 3     <-------o========>   o pada 3
x >= 3    <-------*========>   * pada 3

Untuk semesta real, garis arsiran menunjukkan semua bilangan dalam daerah, termasuk pecahan. Untuk semesta bulat, himpunan penyelesaian hanya memuat titik bilangan bulat yang memenuhi, bukan seluruh garis kontinu.

Semesta mengubah daftar anggota

Jika x bilangan cacah dan x < 4, HP = {0, 1, 2, 3}. Jika x bilangan asli dan x < 4, HP = {1, 2, 3}. Jika x real, nilai 3,5 juga termasuk. Jadi daftar {1, 2, 3} bukan seluruh penyelesaian real dari x < 4.

Pada nilai real, x < 4 tidak ekuivalen dengan x ≤ 3 karena 3,5 memenuhi yang pertama tetapi tidak kedua. Untuk bilangan bulat, keduanya memberikan himpunan sama. Sebutkan semesta saat menyatakan ekuivalensi semacam ini.

Membalik urutan ruas

Bentuk x < 7 sama artinya dengan 7 > x. Ini menukar posisi dua ruas, sehingga simbol dibaca dalam arah yang sesuai. Bentuk x < 7 tidak sama dengan 7 < x.

Untuk batas ganda 2 ≤ x < 6, x minimal 2 dan harus kurang dari 6. Jika x bilangan bulat, anggotanya {2, 3, 4, 5}. Batas kiri termasuk, batas kanan tidak.

Cek pemahaman

1. Tulis model paling sedikit 12 peserta.
2. Apakah 8 memenuhi x < 8?
3. Titik seperti apa dan arah mana untuk x ≥ -2?
4. Tentukan HP x < 4 jika x bilangan cacah.

Pembahasan

1. n ≥ 12.
2. Tidak, karena batas 8 tidak termasuk.
3. Titik penuh pada -2 dengan arsiran ke kanan.
4. {0, 1, 2, 3}.

Ringkasan

Pahami kata pembatas, tentukan apakah batas termasuk, dan sebutkan semesta. Pada garis bilangan, gabungkan informasi titik batas dengan arah daerah penyelesaian.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan dan contoh baru berdasarkan Bab 3 bagian C, Matematika untuk SMP/MTs Kelas VIII (2022), halaman 120-126 (halaman PDF 140-146).