Korespondensi Satu-satu (Pengayaan) - Matematika Kelas 8 SMP

Tujuan belajar

Bagian pengayaan ini membahas korespondensi satu-satu, perbedaannya dari fungsi biasa, dan cara menghitung banyak pasangan yang mungkin untuk dua himpunan berhingga sama banyak.

Setiap anggota kedua himpunan mendapat tepat satu pasangan

Korespondensi satu-satu adalah fungsi dari A ke B yang memasangkan setiap anggota A dengan keluaran berbeda dan memakai seluruh anggota B. Jadi setiap anggota pada kedua himpunan mempunyai tepat satu pasangan.

Misalnya A = {1, 2, 3} dan B = {p, q, r} dengan pasangan {(1, p), (2, q), (3, r)}. Semua masukan dipakai sekali, semua keluaran dipakai sekali. Jika arah panah dibalik, setiap anggota B juga tetap menuju tepat satu anggota A.

A       B
1 -->   p
2 -->   q
3 -->   r

Pemetaan yang panahnya bersilangan juga bisa merupakan korespondensi satu-satu. Misalnya {(1, q), (2, r), (3, p)} tetap sah. Bentuk visual garis tidak menentukan syaratnya; periksa jumlah pasangan pada setiap anggota.

Fungsi biasa belum tentu korespondensi

Dari A dan B yang sama, pasangan {(1, p), (2, p), (3, r)} merupakan fungsi karena setiap masukan mempunyai satu keluaran. Namun, p menerima dua masukan dan q tidak dipakai. Jadi fungsi ini bukan korespondensi satu-satu.

Jika A = {1, 2} dan B = {p, q, r}, pemetaan {(1, p), (2, q)} memberi keluaran berbeda untuk setiap masukan. Tetapi r tidak terpakai, sehingga juga bukan korespondensi satu-satu dari seluruh A ke seluruh B.

Istilah fungsi satu-satu kadang dipakai untuk syarat bahwa keluaran dari masukan berbeda harus berbeda. Dalam materi ini, korespondensi satu-satu menuntut syarat itu sekaligus seluruh kodomain terpakai. Perbedaan tersebut penting jika banyak anggota dua himpunan tidak sama.

Sama banyak memungkinkan, tetapi tidak menjamin pemetaan tertentu

Untuk dua himpunan berhingga, korespondensi satu-satu mungkin dibentuk hanya jika n(A) = n(B). Tiga anggota asal tidak dapat dipasangkan satu-satu dengan seluruh dua anggota tujuan. Demikian pula dua anggota asal tidak cukup untuk memakai seluruh tiga anggota tujuan tanpa pengulangan.

Akan tetapi, dua himpunan yang sama-sama mempunyai tiga anggota tidak membuat setiap relasi di antaranya otomatis korespondensi satu-satu. Tetap periksa relasinya: semua masukan dipakai, tidak ada keluaran berulang, dan seluruh tujuan dipakai.

Kondisi dari A ke B	Fungsi?	Korespondensi satu-satu?
Setiap masukan satu keluaran, dua masukan menuju p sama	Ya	Tidak
Ada masukan tidak berpasangan	Tidak dari seluruh A	Tidak
Ada masukan mempunyai dua keluaran	Tidak	Tidak
Semua anggota kedua himpunan mendapat tepat satu pasangan	Ya	Ya

Contoh sehari-hari dengan himpunan yang tepat

Dalam contoh latihan, tiga siswa mempunyai nomor kartu berbeda: Rani 101, Bima 102, dan Sita 103. Jika himpunan tujuan hanya tiga nomor kartu yang benar-benar dipakai tersebut, hubungan siswa ke nomor kartu adalah korespondensi satu-satu.

Jika tujuan diperluas menjadi semua nomor dari 100 sampai 110, hubungan itu masih fungsi tetapi bukan korespondensi ke seluruh tujuan karena banyak nomor tidak terpakai. Dengan demikian, penetapan kodomain ikut menentukan apakah suatu fungsi merupakan korespondensi satu-satu.

Hubungan siswa ke ukuran sepatu biasanya bukan korespondensi satu-satu karena beberapa siswa dapat memiliki ukuran sama. Meski begitu, jika setiap siswa dicatat satu ukuran sesuai aturan pengukuran, relasinya tetap dapat menjadi fungsi.

Menghitung banyak korespondensi

Dua himpunan masing-masing mempunyai n anggota berbeda. Anggota pertama asal dapat memilih n tujuan. Setelah satu tujuan dipakai, anggota kedua hanya mempunyai n - 1 pilihan. Lanjutkan sampai tersisa satu pilihan untuk anggota terakhir.

Banyak korespondensi adalah n!, dibaca n faktorial, yaitu n x (n - 1) x ... x 2 x 1 untuk n positif.

Banyak anggota tiap himpunan	Banyak korespondensi
1	1! = 1
2	2! = 2
3	3! = 6
4	4! = 24
5	5! = 120

Untuk A = {1, 2, 3} dan B = {p, q, r}, enam susunan keluaran berurutan adalah pqr, prq, qpr, qrp, rpq, rqp. Setiap susunan menyatakan keluaran untuk 1, lalu 2, lalu 3. Tidak ada tujuan yang diulang dalam satu susunan.

Bedakan dengan banyak fungsi

Dari tiga anggota asal ke tiga tujuan, banyak semua fungsi adalah 3^3 = 27 karena tujuan boleh dipakai berulang. Hanya 3! = 6 di antaranya yang memakai setiap tujuan tepat sekali.

Jadi rumus pangkat dan faktorial menghitung hal berbeda. Jika soal meminta banyak fungsi, jangan otomatis memakai faktorial. Jika meminta korespondensi satu-satu, jangan memakai n^n yang masih menghitung pengulangan tujuan.

Fungsi pada himpunan ke dirinya sendiri

Ambil A = {-2, -1, 0, 1, 2}. Fungsi f(x) = -x dari A ke A merupakan korespondensi: -2 menuju 2, -1 menuju 1, 0 menuju 0, dan sebaliknya. Seluruh A digunakan tepat sekali sebagai keluaran.

Sebaliknya aturan g(x) = x^2 tidak mendefinisikan fungsi A ke A karena untuk x = 2 keluarannya 4, yang tidak ada dalam A. Jika kodomain diubah menjadi {0, 1, 4}, aturan itu menjadi fungsi tetapi masih bukan korespondensi satu-satu karena -2 dan 2 menuju nilai 4 yang sama.

Cek pemahaman

1. Apakah setiap fungsi pasti korespondensi satu-satu?
2. Dua himpunan masing-masing empat anggota. Berapa banyak korespondensi?
3. Dapatkah korespondensi dibentuk antara 3 dan 4 anggota berhingga?
4. Pada dua himpunan masing-masing tiga anggota, berapa banyak semua fungsi dibanding korespondensi?

Pembahasan

1. Tidak; beberapa masukan boleh memiliki keluaran sama pada fungsi biasa.
2. 4! = 24.
3. Tidak, karena tidak mungkin semua anggota kedua himpunan mendapat tepat satu pasangan.
4. Semua fungsi 3^3 = 27, sedangkan korespondensi 3! = 6.

Ringkasan

Korespondensi satu-satu adalah fungsi dengan keluaran berbeda untuk setiap masukan dan seluruh kodomain terpakai. Untuk himpunan berhingga sama banyak, hitung kemungkinan dengan faktorial; tetap periksa relasi yang benar-benar diberikan.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan dan contoh baru berdasarkan Bab 4 bagian C, Matematika untuk SMP/MTs Kelas VIII (2022), halaman 190-200 (halaman PDF 210-220).