Segitiga Istimewa - Matematika Kelas 8 SMP

Tujuan belajar

Kamu akan menurunkan dan memakai perbandingan sisi segitiga 45°-45°-90° serta 30°-60°-90°, termasuk menentukan sisi dari hipotenusa dan menghitung luas atau keliling.

Segitiga siku-siku sama kaki

Pada segitiga 45°-45°-90°, kedua sisi siku-siku sama panjang. Jika masing-masing a, Pythagoras memberi c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2, sehingga hipotenusa c = a √(2) untuk a positif.

Urutan perbandingannya adalah:

Kaki : kaki : hipotenusa = 1 : 1 : √(2).

Jadi kaki 6 cm menghasilkan hipotenusa 6√(2) cm. Jika justru hipotenusa 10√(2) cm diketahui, setiap kaki adalah (10√(2))/√(2) = 10 cm.

Jika hipotenusanya 10 cm, kakinya 10/√(2) = 5√(2) cm. Jangan langsung membagi hipotenusa dengan 2; faktor yang benar adalah √(2), bukan 2.

Menghubungkan dengan persegi

Diagonal persegi membagi persegi menjadi dua segitiga siku-siku sama kaki. Persegi bersisi s mempunyai diagonal d = s √(2). Maka persegi bersisi 8 cm memiliki diagonal 8√(2) cm.

Sebaliknya jika diagonal 12 cm, sisinya 12/√(2) = 6√(2) cm. Luasnya (6√(2))^2 = 72 cm persegi. Panjang diagonal bukan panjang sisi persegi, sehingga luasnya bukan 12^2.

Segitiga 30°-60°-90°

Ambil segitiga sama sisi dengan panjang setiap sisi 2a. Tarik garis tinggi dari satu titik sudut ke sisi di depannya. Garis ini membagi alas menjadi dua bagian sama panjang a dan membagi sudut 60° menjadi dua sudut 30°.

Pada salah satu segitiga siku-siku hasilnya, hipotenusa 2a dan sisi pendek a. Sisi yang tersisa memenuhi b^2 = (2a)^2 - a^2 = 3a^2, sehingga b = a √(3).

Letak sisi	Perbandingan	Panjang jika sisi pendek a
Di depan sudut 30°	1	a
Di depan sudut 60°	√(3)	a √(3)
Di depan sudut 90°	2	2a

Pasangkan berdasarkan sudut di hadapannya, bukan posisi kiri atau kanan pada gambar. Sisi pendek selalu di depan 30°; hipotenusa selalu di depan 90°.

Jika sisi pendek atau hipotenusa diketahui

Jika sisi di depan 30° panjangnya 7 cm, sisi di depan 60° adalah 7√(3) cm dan hipotenusanya 14 cm.

Jika hipotenusa 18 cm, sisi pendek 18/2 = 9 cm dan sisi lainnya 9√(3) cm. Periksa: 9^2 + (9√(3))^2 = 81 + 243 = 324 = 18^2.

Jika sisi di depan 60° adalah 12 cm, sisi pendek 12/√(3) = 4√(3) cm. Hipotenusa dua kali nilai itu, yaitu 8√(3) cm. Mengetahui sisi panjang bukan berarti boleh langsung membaginya dengan 2.

Luas dan keliling

Luas segitiga siku-siku adalah setengah hasil kali kedua kakinya. Segitiga 30°-60°-90° dengan sisi pendek 4 cm mempunyai kaki lain 4√(3) cm dan hipotenusa 8 cm. Luasnya (1/2) x 4 x 4√(3) = 8√(3) cm persegi. Kelilingnya 4 + 4√(3) + 8 = 12 + 4√(3) cm.

Segitiga 45°-45°-90° berkaki 5 cm memiliki luas 12,5 cm persegi dan keliling 10 + 5√(2) cm. Sisi miring tidak dipakai sebagai tinggi jika alasnya salah satu kaki.

Pola akar pada roda Theodorus

Mulai dari segitiga dengan dua kaki 1 dan 1, sehingga hipotenusanya √(2). Buat segitiga berikut dengan satu kaki hipotenusa sebelumnya dan satu kaki 1 yang tegak lurus terhadapnya. Hipotenusa baru √(2 + 1) = √(3). Langkah selanjutnya menghasilkan √(4), √(5), dan seterusnya.

Pola ini menunjukkan penerapan berulang Pythagoras dan hubungan bentuk akar. Setiap tambahan satu sisi satuan menambah kuadrat hipotenusa sebesar 1, bukan menambah panjang hipotenusa sebesar 1.

Menjaga bentuk tepat

Gunakan √(2) atau √(3) pada langkah antara agar jawaban tetap tepat. Jika diminta pendekatan, gunakan pembulatan pada akhir. Misalnya 6√(2) sekitar 8,49, bukan 8,4 jika diminta dua angka desimal.

Cek pemahaman

1. Kedua kaki segitiga sama kaki siku-siku 3 cm. Berapa hipotenusa?
2. Hipotenusa segitiga 45°-45°-90° adalah 14√(2) cm. Berapa tiap kaki?
3. Hipotenusa segitiga 30°-60°-90° adalah 20 cm. Tentukan sisi lain.
4. Segitiga sama sisi bersisi 10 cm. Berapa tingginya?

Pembahasan

1. 3√(2) cm.
2. 14 cm.
3. Sisi pendek 10 cm dan sisi panjang 10√(3) cm.
4. Setengah alas 5 cm dan sisi miring 10 cm; tingginya 5√(3) cm.

Ringkasan

Gunakan rasio 1 : 1 : √(2) untuk 45°-45°-90° dan 1 : √(3) : 2 untuk 30°-60°-90°. Kenali pasangan sudut dan sisi sebelum mengalikan atau membagi.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan dan contoh baru berdasarkan Bab 2 bagian C, Matematika untuk SMP/MTs Kelas VIII (2022), halaman 76-84 (halaman PDF 96-104).