Memahami Fungsi - Matematika Kelas 8 SMP

Tujuan belajar

Kamu akan membedakan fungsi dari relasi umum, menentukan domain, kodomain, dan range, menghitung nilai fungsi, serta menyajikan dan membentuk fungsi sederhana.

Fungsi: setiap masukan tepat satu keluaran

Fungsi dari A ke B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Ada dua syarat sekaligus: tidak boleh ada anggota asal yang terlewat, dan satu masukan tidak boleh menghasilkan dua keluaran berbeda.

Keluaran yang sama boleh diterima oleh beberapa masukan. Misalnya A = {1, 2, 3}, B = {p, q}, dan pasangan {(1, p), (2, p), (3, q)} merupakan fungsi. Angka 1 dan 2 menuju p tidak melanggar syarat fungsi.

Pasangan dari A = {1, 2, 3} ke B = {p, q}	Status
{(1, p), (2, p), (3, q)}	Fungsi
{(1, p), (2, q)}	Bukan fungsi dari seluruh A; 3 tidak berpasangan
{(1, p), (1, q), (2, p), (3, q)}	Bukan fungsi; 1 punya dua keluaran

Anggota kodomain boleh tidak terpakai. Yang wajib mendapat tepat satu pasangan adalah semua anggota domain, bukan semua anggota kodomain. Setiap fungsi adalah relasi, tetapi tidak setiap relasi adalah fungsi.

Domain, kodomain, dan range

Pada fungsi f dari A = {1, 2, 3} ke B = {2, 4, 6, 8} dengan f(x) = 2x:

• Domain atau daerah asal: {1, 2, 3}.
• Kodomain atau daerah kawan: {2, 4, 6, 8}, yaitu himpunan tujuan yang ditetapkan.
• Range atau daerah hasil: {2, 4, 6}, yaitu keluaran yang benar-benar diperoleh.

Range merupakan himpunan bagian kodomain, tetapi tidak harus sama dengan kodomain. Angka 8 pada contoh tidak terpakai dan itu tetap dibolehkan.

Rumus juga harus cocok dengan himpunannya. Aturan f(x) = 2x dari {1, 2, 3} ke {2, 4} tidak mendefinisikan fungsi ke kodomain tersebut karena keluaran untuk x = 3 adalah 6, yang tidak termasuk tujuan.

Menyajikan fungsi

Fungsi dapat disajikan sebagai diagram panah, pasangan berurutan, tabel, grafik, dan pada contoh tertentu rumus aljabar. Tidak semua fungsi harus mempunyai rumus aljabar sederhana, misalnya pemetaan siswa ke ukuran sepatu yang tercatat.

Untuk f(x) = 2x pada domain {1, 2, 3}:

1 --> 2
2 --> 4
3 --> 6

Pasangannya {(1, 2), (2, 4), (3, 6)} dan tabelnya:

x	f(x)
1	2
2	4
3	6

Grafiknya terdiri atas tiga titik saja pada koordinat tersebut. Jangan otomatis menggambar garis penuh jika domain hanya memuat tiga nilai. Jika domainnya seluruh bilangan real dan rumus sama, grafiknya merupakan garis y = 2x untuk semua x real.

Arti notasi f(x)

Notasi f(x) dibaca f dari x dan berarti keluaran fungsi f untuk masukan x. Ini bukan perkalian f dengan x. Pada f(x) = 3x - 1, nilai f(4) = 3 x 4 - 1 = 11.

Untuk masukan negatif, pakai kurung: f(-2) = 3 x (-2) - 1 = -7. Pada bentuk berpangkat, h(x) = x^2 memberi h(-3) = (-3)^2 = 9.

Menghitung f(4) berbeda dari mencari x jika f(x) = 4. Pada f(x) = 3x - 1 dan f(x) = 11, selesaikan 3x - 1 = 11 sehingga x = 4. Hasil itu tetap perlu berada dalam domain yang diizinkan.

Menentukan range dari domain

Jika f(x) = x^2 dengan domain {-2, -1, 0, 1, 2}, hasil berurutannya 4, 1, 0, 1, 4. Range adalah {0, 1, 4}, bukan lima anggota dengan nilai berulang. Himpunan tidak menghitung elemen sama lebih dari sekali.

Untuk domain interval real, jumlah hasil dapat tak berhingga. Contohnya f(x) = 2x + 1 untuk 0 <= x <= 3 memiliki range 1 <= y <= 7. Fungsi meningkat, sehingga nilai batas bawah dan atas muncul dari dua ujung domain. Jangan memakai aturan ujung interval tanpa memeriksa sifat fungsi jika bentuknya berbeda, misalnya x^2 pada interval yang melintasi nol.

Bentuk fungsi sederhana

Fungsi konstan seperti f(x) = 5 memberi keluaran sama untuk semua masukan domain. Ini tetap fungsi. Fungsi identitas f(x) = x mengembalikan setiap masukan menjadi dirinya sendiri.

Fungsi dapat juga didefinisikan dengan aturan berlainan. Pada bilangan asli, misalnya f(n) = n + 1 jika n ganjil dan f(n) = 2n jika n genap. Untuk setiap n, aturan ganjil atau genap yang berlaku hanya satu, sehingga keluarannya tunggal. Diperoleh f(3) = 4 dan f(4) = 8.

Pada grafik, garis tegak x = 2 tidak mewakili fungsi y terhadap x karena masukan x yang sama berpasangan dengan banyak y. Sebaliknya garis mendatar y = 5 adalah fungsi konstan untuk domain real.

Mencari rumus fungsi linier

Jika diketahui fungsi berbentuk f(x) = ax + b dengan f(1) = 5 dan f(3) = 11, maka:

1. a + b = 5.
2. 3a + b = 11.
3. Kurangkan persamaan pertama dari kedua: 2a = 6, sehingga a = 3.
4. Substitusi ke a + b = 5: b = 2.

Jadi f(x) = 3x + 2. Asumsi bentuk linier penting; dua pasangan data saja tanpa ketentuan bentuk fungsi belum menentukan satu rumus untuk seluruh masukan.

Dalam model latihan biaya C(n) = 4.000n + 6.000 rupiah, n menyatakan jumlah barang utuh. C(5) = Rp26.000. Domainnya mengikuti konteks, yaitu bilangan cacah atau positif sesuai apakah transaksi nol barang diizinkan, bukan otomatis semua bilangan real.

Banyak fungsi yang mungkin

Untuk himpunan berhingga A dengan m anggota dan B dengan n anggota, setiap anggota A mempunyai n pilihan keluaran. Karena pilihan boleh berulang, banyak fungsi A ke B adalah n^m untuk m dan n positif.

Jika A mempunyai 2 anggota dan B mempunyai 3, banyak fungsi 3^2 = 9. Arah sebaliknya menghasilkan 2^3 = 8. Rumus ini menghitung semua fungsi, termasuk yang beberapa masukannya menuju keluaran sama; bukan hanya korespondensi satu-satu.

Cek pemahaman

1. Apakah {(1, p), (2, p)} fungsi dari {1, 2} ke {p, q}?
2. Jika f(x) = 4x + 1, hitung f(-2).
3. Domain f(x) = 2x adalah {0, 1, 2}. Tentukan range.
4. Jika f(x) = ax + b, f(0) = 3 dan f(2) = 7, tentukan rumusnya.

Pembahasan

1. Ya, setiap masukan mendapat tepat satu keluaran, walaupun q tidak dipakai.
2. 4 x (-2) + 1 = -7.
3. {0, 2, 4}.
4. b = 3 dan 2a + 3 = 7, sehingga a = 2. Jadi f(x) = 2x + 3.

Ringkasan

Periksa semua anggota domain dan ketunggalan keluarannya. Bedakan kodomain dari range, gunakan substitusi sesuai rumus, dan sesuaikan grafik serta banyak kemungkinan fungsi dengan domainnya.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan dan contoh baru berdasarkan Bab 4 bagian B, Matematika untuk SMP/MTs Kelas VIII (2022), halaman 162-189 (halaman PDF 182-209).