Grafik Persamaan Garis Lurus - Matematika Kelas 8 SMP

Tujuan belajar

Kamu akan mengenali persamaan garis lurus, menentukan pasangan koordinat yang memenuhi persamaan, membuat tabel nilai, menggambar grafik, serta membaca titik potong dengan kedua sumbu. Dalam materi ini, tanda ^ berarti pangkat, misalnya x^2 dibaca x kuadrat.

Persamaan dan pasangan koordinat

Titik pada bidang Kartesius ditulis (x, y). Koordinat x menunjukkan posisi mendatar dan koordinat y menunjukkan posisi tegak. Titik (2, 5) diperoleh dengan bergerak dua satuan ke kanan dan lima satuan ke atas dari titik asal O(0, 0). Titik (5, 2) memiliki posisi berbeda; urutan koordinat harus dijaga.

Persamaan dua variabel menghubungkan nilai x dan y. Pasangan yang memenuhi persamaan disebut penyelesaian. Untuk memeriksa apakah (2, 5) memenuhi y = 2x + 1, substitusikan x = 2 dan y = 5. Ruas kanan menjadi 2(2) + 1 = 5, sama dengan ruas kiri. Jadi titik tersebut terletak pada grafiknya. Sebaliknya, (2, 4) tidak terletak pada grafik karena 4 tidak sama dengan 5.

Grafik persamaan adalah kumpulan seluruh titik penyelesaiannya. Ketika x dan y boleh berupa bilangan real, persamaan garis lurus menghasilkan titik-titik yang membentuk satu garis. Ada tak terhingga banyak titik pada garis meskipun kita hanya memakai beberapa titik untuk menggambarnya.

Mengenali bentuk persamaan garis lurus

Bentuk umum persamaan garis lurus adalah Ax + By + C = 0, dengan A, B, dan C bilangan real serta A dan B tidak sekaligus nol. Contohnya 2x + 3y - 6 = 0. Syarat koefisien itu diperlukan: persamaan 0x + 0y = 0 dipenuhi semua titik bidang, sehingga bukan satu garis.

Jika B bukan nol, susun ulang menjadi y = mx + c. Sebagai contoh, 2x + y - 3 = 0 setara dengan y = -2x + 3. Bentuk y = mx merupakan kasus khusus dengan c = 0, sehingga garisnya melalui titik asal.

Persamaan y = 4 juga menghasilkan garis lurus: garis mendatar yang melalui semua titik dengan koordinat y sebesar 4. Persamaan x = -2 menghasilkan garis tegak yang melalui semua titik dengan koordinat x sebesar -2. Garis tegak tidak dapat ditulis sebagai y = mx + c dengan m bilangan real. Untuk satu x yang sama terdapat banyak nilai y, sehingga garis tegak bukan grafik fungsi y terhadap x.

Bentuk y = x^2, xy = 6, dan y = 1/x tidak merupakan persamaan garis lurus. Pada y = x^2, misalnya, perubahan y untuk kenaikan x satu satuan tidak tetap. Jangan memutuskan bentuk grafik hanya dari dua titik yang kebetulan sudah dihitung.

Membuat tabel nilai

Untuk menggambar y = 2x + 1, pilih beberapa nilai x yang mudah, lalu hitung y satu per satu.

x	Perhitungan y = 2x + 1	y	Titik
-1	2(-1) + 1	-1	(-1, -1)
0	2(0) + 1	1	(0, 1)
1	2(1) + 1	3	(1, 3)
2	2(2) + 1	5	(2, 5)

Ketika x bertambah satu, y selalu bertambah dua. Plot titik-titik itu pada bidang Kartesius dengan skala yang jelas. Hubungkan memakai penggaris dan perpanjang ke kedua arah jika domainnya semua bilangan real. Dua titik berbeda cukup untuk menentukan satu garis lurus; titik ketiga membantu memeriksa ketelitian perhitungan dan gambar.

Langkah menggambar dapat dilakukan sebagai berikut.

1. Buat sumbu x mendatar dan sumbu y tegak yang berpotongan di O.
2. Beri tanda skala pada setiap sumbu dan tuliskan angka serta nama sumbunya.
3. Tandai sedikitnya dua titik berbeda dari tabel.
4. Tarik satu garis melalui titik-titik itu, lalu periksa titik lainnya.

Jangan menganggap daftar titik di tabel sebagai seluruh penyelesaian ketika domainnya real. Misalnya x = 1/2 memberi y = 2; titik (1/2, 2) juga berada pada garis meskipun tidak tercantum dalam tabel.

Titik potong dengan sumbu

Pada sumbu x, koordinat y selalu nol. Pada sumbu y, koordinat x selalu nol. Untuk menggambar y = -2x + 6 dengan cara titik potong:

• Substitusikan y = 0: 0 = -2x + 6, sehingga x = 3. Titik potong sumbu x adalah (3, 0).
• Substitusikan x = 0: y = 6. Titik potong sumbu y adalah (0, 6).

Plot kedua titik itu lalu tarik garis. Sebagai pemeriksaan, ketika x = 1, y = 4, sehingga (1, 4) seharusnya berada pada garis yang sama. Grafiknya menurun saat dibaca dari kiri ke kanan.

Pada y = 3x, kedua cara titik potong menghasilkan titik yang sama, yaitu (0, 0). Satu titik saja belum menentukan garis. Pilih titik lain, misalnya x = 1 menghasilkan (1, 3). Pada y = 4 tidak ada titik potong sumbu x, sedangkan pada x = -2 tidak ada titik potong sumbu y. Gunakan dua titik lain pada garis tersebut.

Membandingkan grafik dan membaca perpotongan

Grafik y = 2x dan y = 2x + 3 memiliki perubahan y yang sama untuk setiap kenaikan x. Namun, titik potong sumbu y berbeda, masing-masing (0, 0) dan (0, 3). Mengubah konstanta menggeser posisi garis ke atas atau ke bawah tanpa mengubah kemiringannya.

Titik perpotongan dua grafik memenuhi kedua persamaan sekaligus. Misalnya y = 2x + 1 dan y = -x + 7 berpotongan ketika 2x + 1 = -x + 7. Maka 3x = 6, x = 2, dan y = 5. Periksa: 2(2) + 1 = 5 dan -2 + 7 = 5. Jadi titik perpotongannya (2, 5).

Grafik sesuai konteks

Dalam model pembelian hipotetis, total biaya n paket alat tulis adalah C(n) = 4000n + 6000 rupiah. Angka 6000 menyatakan biaya tetap yang dibayar sekali, sedangkan 4000 adalah biaya setiap paket. Untuk lima paket, C(5) = 20000 + 6000 = 26000 rupiah.

Karena jumlah paket berupa bilangan bulat, grafik konteks ini hanya menggunakan titik dengan n bilangan bulat yang diizinkan. Jangan menafsirkan titik untuk 2,5 paket sebagai pembelian yang tersedia jika paket harus utuh. Sebaliknya, model volume air terhadap waktu dapat memakai domain waktu kontinu selama asumsi aliran tetap berlaku. Bentuk rumus dan batas konteks sama-sama menentukan cara membaca grafik.

Cek pemahaman

1. Apakah titik (-1, 2) terletak pada y = -3x - 1?
2. Buat tiga titik pada y = x + 2 dengan x = -1, 0, dan 1.
3. Tentukan kedua titik potong sumbu untuk 2x + y = 8.
4. Mengapa titik potong sumbu saja belum cukup untuk menggambar y = -2x?
5. Tentukan titik perpotongan y = x + 2 dan y = -x + 6.

Pembahasan

1. Ya, karena -3(-1) - 1 = 2, sama dengan koordinat y.
2. Titik-titiknya (-1, 1), (0, 2), dan (1, 3).
3. Saat y = 0 diperoleh x = 4, jadi (4, 0). Saat x = 0 diperoleh y = 8, jadi (0, 8).
4. Kedua titik potong berimpit di (0, 0). Pilih satu titik berbeda, misalnya (1, -2).
5. x + 2 = -x + 6 memberi x = 2 dan y = 4. Titik perpotongannya (2, 4).

Ringkasan

Grafik persamaan garis lurus memuat semua pasangan koordinat yang memenuhi persamaan. Buat tabel atau cari titik potong sumbu, lalu gunakan dua titik berbeda untuk menggambar garis. Perhatikan garis tegak, garis mendatar, skala sumbu, serta domain yang sesuai dengan konteks.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan dan contoh baru berdasarkan Bab 5 bagian A, Matematika untuk SMP/MTs Kelas VIII (2022), halaman 211-223 (halaman PDF 231-243).