Pemodelan dengan Bentuk Aljabar - Matematika Kelas 7 SMP

Tujuan belajar

Kamu akan menerjemahkan situasi menjadi bentuk aljabar, memilih arti dan satuan variabel, menghitung nilai model, serta memeriksa apakah hasilnya masuk akal dalam konteks.

Langkah membuat model

Model aljabar menyatakan hubungan besaran secara ringkas. Mulailah dari pertanyaan yang ingin dijawab, kemudian tentukan variabel dan satuannya. Pisahkan besaran tetap dari besaran yang berubah. Terakhir, periksa model menggunakan contoh angka yang mudah.

Misalnya sebuah toko menjual buku dengan harga Rp6.000 per buku dan mengenakan biaya bungkus tetap Rp2.000 untuk satu transaksi. Jika n menyatakan banyak buku, total biaya dalam rupiah adalah 6.000n + 2.000. Biaya bungkus tidak dikalikan n karena hanya dikenakan sekali. Jika membeli 4 buku, biayanya 24.000 + 2.000 = Rp26.000.

Dalam model ini n merupakan bilangan bulat positif untuk transaksi pembelian buku. Nilai 2,5 tidak sesuai karena buku dijual utuh. Nilai yang boleh digunakan bergantung pada arti variabel.

Menerjemahkan hubungan bertahap

Kalimat	Bentuk aljabar
Lima lebih banyak daripada n	n + 5
Lima lebih sedikit daripada n	n - 5
Tiga kali n	3n
Dua lebih sedikit daripada tiga kali n	3n - 2
Tiga kali jumlah n dan dua	3(n + 2)
Setengah dari selisih n dan empat	(n - 4)/2

Perhatikan urutan serta tanda kurung. Bentuk 3n - 2 berbeda dari 3(n - 2). Pada n = 10, yang pertama bernilai 28 dan yang kedua 24.

Dina mempunyai a stiker. Beni mempunyai dua kali stiker Dina, sehingga banyaknya 2a. Citra mempunyai 3 stiker lebih sedikit daripada Beni, sehingga banyaknya 2a - 3, bukan a - 3. Total ketiganya a + 2a + (2a - 3) = 5a - 3. Agar jumlah stiker Citra tidak negatif dan setiap jumlah bulat, a harus bilangan bulat sekurang-kurangnya 2.

Biaya, pemasukan, dan sisa uang

Seorang siswa menggunakan bus dua kali sehari selama 5 hari. Jika satu kali perjalanan berbiaya p rupiah, biaya seminggu adalah 10p. Dengan anggaran Rp60.000, sisa uangnya 60.000 - 10p.

Jika p = 5.000, sisa Rp10.000. Jika p = 7.000, model menghasilkan -Rp10.000. Hasil negatif berarti anggaran kurang Rp10.000, bukan ada uang tunai negatif yang dapat dibelanjakan. Penafsiran hasil sama pentingnya dengan perhitungan.

Dalam model usaha sederhana, biaya membuat n produk adalah 4.000n + 20.000 rupiah, sedangkan harga jualnya Rp6.000 per produk. Jika seluruh produk terjual, pemasukan 6.000n dan keuntungan 6.000n - (4.000n + 20.000) = 2.000n - 20.000. Untuk n = 15, keuntungan Rp10.000. Jika produk tidak seluruhnya terjual, gunakan variabel jumlah terjual yang berbeda agar pemasukan tidak terlalu besar.

Memodelkan keliling dan luas

Sebuah persegi panjang memiliki lebar x cm dan panjang x + 4 cm, dengan x positif. Kelilingnya 2x + 2(x + 4) = 4x + 8 cm. Luasnya x(x + 4) = x² + 4x cm persegi.

Pada x = 3, lebar 3 cm dan panjang 7 cm, sehingga keliling 20 cm dan luas 21 cm persegi. Gunakan satuan yang sesuai: keliling adalah ukuran panjang, sedangkan luas memakai satuan persegi.

Jarak, waktu, dan batas model

Jarak rumah ke sekolah 3.000 meter. Dengan kecepatan tetap 10 meter per detik, jarak yang ditempuh setelah t detik adalah 10t meter, sedangkan jarak tersisa 3.000 - 10t meter. Model perjalanan menuju sekolah berlaku untuk t dari 0 sampai 300 detik. Sesudah sampai, jarak tersisa tidak menjadi negatif; model perlu disesuaikan dengan situasinya.

Jika waktu dinyatakan dalam menit, ubah dahulu ke detik. Setelah 2 menit, t = 120, sehingga jarak tempuh 1.200 meter dan sisanya 1.800 meter.

Jika kecepatan berubah, satu bentuk sederhana tidak selalu berlaku sepanjang perjalanan. Misalnya selama 10 menit pertama pesepeda bergerak 200 meter per menit, lalu 100 meter per menit. Untuk 0 sampai 10 menit, jaraknya 200t. Untuk t lebih dari 10 menit, jaraknya 2.000 + 100(t - 10). Setelah 15 menit jaraknya 2.500 meter. Pada t = 5, gunakan model pertama dan hasilnya 1.000 meter.

Membandingkan dua model

Dalam contoh tarif hipotetis, layanan A mengenakan biaya tetap Rp4.000 ditambah Rp2.000 per kilometer. Layanan B mengenakan Rp3.000 per kilometer tanpa biaya tetap. Jika d adalah jarak dalam kilometer, tarifnya A = 4.000 + 2.000d dan B = 3.000d.

Untuk 2 km, A berbiaya Rp8.000 dan B Rp6.000, sehingga B lebih murah. Untuk 6 km, A Rp16.000 dan B Rp18.000, sehingga A lebih murah. Keduanya sama pada 4 km. Pilihan termurah dapat berubah ketika jarak berubah; ini adalah model latihan, bukan informasi tarif layanan nyata.

Menjelaskan teka-teki dengan aljabar

Pilih bilangan n, kalikan 2, tambah 8, bagi 2, lalu kurangi bilangan awal. Bentuknya (2n + 8)/2 - n = n + 4 - n = 4. Hasil selalu 4 karena bagian n saling menghapus, bukan karena kebetulan dari beberapa percobaan.

Cek pemahaman

1. Harga pensil Rp3.000 per buah dan ongkos kirim tetap Rp5.000. Tulis biaya membeli n pensil.
2. Jika Beni mempunyai 3a stiker dan Citra 2 lebih sedikit dari Beni, berapa stiker Citra?
3. Hitung sisa anggaran 60.000 - 10p untuk p = 4.500.
4. Dengan model jarak 3.000 - 10t, berapa jarak tersisa setelah 1 menit?

Pembahasan

1. 3.000n + 5.000 rupiah.
2. 3a - 2 stiker.
3. 60.000 - 45.000 = Rp15.000.
4. t = 60 detik, sehingga sisanya 3.000 - 600 = 2.400 meter.

Ringkasan

Tentukan arti, satuan, dan batas variabel sebelum menghitung. Pilih operasi serta kurung sesuai kalimat, kemudian tafsirkan hasil dan pastikan model hanya digunakan pada kondisi yang sesuai.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan dan contoh baru berdasarkan Bab 4 bagian C, Matematika untuk SMP/MTs Kelas VII (2022), halaman 146-153 (halaman PDF 168-175).