Faktor Bilangan Bulat - Matematika Kelas 7 SMP

Tujuan belajar

Kamu akan menentukan faktor dan pasangan faktor bilangan bulat, menguraikan bilangan menjadi faktor prima, serta memilih FPB atau KPK untuk menyelesaikan masalah sehari-hari.

Faktor dan pasangan faktor

Bilangan bulat d yang tidak nol disebut faktor dari n jika n dapat dibagi d tanpa sisa. Misalnya 3 adalah faktor dari 18 karena 18 ÷ 3 = 6, sedangkan 4 bukan faktor dari 18 karena pembagiannya tidak menghasilkan bilangan bulat.

Pasangan faktor adalah dua bilangan yang hasil kalinya sama dengan bilangan yang sedang dibahas. Cari pasangan secara teratur agar tidak ada yang terlewat.

Bilangan	Pasangan faktor positif	Pasangan faktor negatif
12	(1, 12), (2, 6), (3, 4)	(-1, -12), (-2, -6), (-3, -4)
18	(1, 18), (2, 9), (3, 6)	(-1, -18), (-2, -9), (-3, -6)

Jika soal meminta faktor positif dari 12, jawab 1, 2, 3, 4, 6, 12. Jika meminta seluruh faktor bulat, sertakan pula -1, -2, -3, -4, -6, -12. Nol bukan faktor karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi.

Untuk bilangan -12, pasangan faktornya berlainan tanda: (1, -12), (-1, 12), (2, -6), (-2, 6), (3, -4), dan (-3, 4). Seluruh faktor bulatnya sama dengan faktor bulat 12; tanda pasangan menentukan hasil perkaliannya.

Bilangan prima dan komposit

Bilangan prima adalah bilangan asli lebih besar daripada 1 yang memiliki tepat dua faktor positif, yaitu 1 dan dirinya sendiri. Contohnya 2, 3, 5, 7, 11, dan 13. Bilangan 2 adalah satu-satunya bilangan prima genap.

Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar daripada 1 yang memiliki lebih dari dua faktor positif. Misalnya 9 memiliki faktor positif 1, 3, 9. Bilangan 1 bukan prima dan bukan komposit; bilangan negatif juga tidak digolongkan sebagai prima dalam materi ini.

Faktorisasi prima

Faktorisasi prima menyatakan bilangan sebagai hasil kali bilangan prima. Untuk bilangan bulat positif lebih dari 1, faktorisasi primanya unik jika urutan faktor diabaikan.

Uraikan 60 melalui pembagian bertahap:

1. 60 = 2 × 30.
2. 30 = 2 × 15.
3. 15 = 3 × 5.
4. Jadi 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5.

Berhenti ketika semua faktor sudah prima. Bentuk 6 × 10 memang menghasilkan 60, tetapi belum merupakan faktorisasi prima. Periksa kembali: 4 × 3 × 5 = 60. Untuk bilangan negatif, pisahkan tanda: -60 = (-1) × 2² × 3 × 5; -1 bukan bilangan prima.

Menentukan FPB

Faktor persekutuan adalah faktor yang dimiliki bersama. Pada materi FPB dan KPK ini, kita menggunakan faktor dan kelipatan positif dari bilangan positif.

Faktor positif 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Faktor positif 36 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Faktor persekutuannya 1, 2, 3, 4, 6, 12, sehingga FPB(24, 36) = 12.

Dengan faktorisasi prima, 24 = 2³ × 3 dan 36 = 2² × 3². Ambil faktor prima yang sama dengan pangkat terkecil: FPB = 2² × 3 = 12. Faktor yang tidak ada pada salah satu bilangan tidak dimasukkan.

Menentukan KPK

Kelipatan positif 8 adalah 8, 16, 24, 32, 40, 48, .... Kelipatan positif 12 adalah 12, 24, 36, 48, .... Kelipatan persekutuan positif terkecilnya 24, maka KPK(8, 12) = 24. Nol tidak dipakai sebagai calon KPK.

Dengan faktorisasi prima, 8 = 2³ dan 12 = 2² × 3. Ambil semua faktor prima yang muncul dengan pangkat terbesar: KPK = 2³ × 3 = 24. Untuk dua bilangan positif a dan b, FPB(a, b) × KPK(a, b) = a × b dapat digunakan sebagai pemeriksaan.

Memilih FPB atau KPK

Kebutuhan soal	Konsep	Alasan
Paket sama isi sebanyak mungkin tanpa sisa	FPB	Banyak paket harus membagi semua jumlah benda
Dua kegiatan berulang bersamaan lagi	KPK	Waktu harus merupakan kelipatan semua periode

Contoh FPB: tersedia 24 pensil dan 36 penghapus. Keduanya dibagi ke paket dengan isi tiap jenis sama pada setiap paket, tanpa sisa. Banyak paket maksimal 12. Masing-masing berisi 2 pensil dan 3 penghapus. Jumlah pensil tidak harus sama dengan jumlah penghapus di dalam sebuah paket.

Contoh KPK: dua lampu berkedip setiap 8 detik dan 12 detik. Jika sekarang berkedip bersama, keduanya berkedip bersama lagi setelah 24 detik. Untuk tiga periode 4, 6, dan 8 hari, KPK = 2³ × 3 = 24 hari.

Baca apa yang dimaksimalkan. Jumlah paket terbanyak berbeda dari isi tiap paket terbanyak. Jangan memilih FPB hanya karena ada kata "paling banyak" tanpa memahami syarat pembagiannya.

Cek pemahaman

1. Tuliskan faktor positif dari 20.
2. Berikan satu pasangan faktor negatif dari 20 dan satu pasangan faktor dari -20.
3. Tentukan faktorisasi prima 72.
4. Tentukan FPB dan KPK dari 18 dan 30.
5. Dua bus berangkat setiap 12 dan 18 menit. Jika berangkat bersama pukul 07.00, kapan bersama lagi?

Pembahasan

1. 1, 2, 4, 5, 10, 20.
2. Contohnya (-4, -5) menghasilkan 20; (4, -5) menghasilkan -20.
3. 72 = 2³ × 3².
4. 18 = 2 × 3² dan 30 = 2 × 3 × 5. FPB = 2 × 3 = 6; KPK = 2 × 3² × 5 = 90.
5. KPK(12, 18) = 36 menit. Jadi pukul 07.36.

Ringkasan

Faktor membagi bilangan tanpa sisa, sedangkan pasangan faktor membentuk bilangan melalui perkalian. Faktorisasi prima membantu mencari FPB dengan pangkat terkecil yang sama dan KPK dengan pangkat terbesar dari semua faktor prima yang muncul.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan dan contoh baru berdasarkan Bab 1 bagian C, Matematika untuk SMP/MTs Kelas VII (2022), halaman 22-30 (halaman PDF 44-52).