Sifat-Sifat dan Operasi Aljabar - Matematika Kelas 7 SMP

Tujuan belajar

Kamu akan menyederhanakan suku sejenis, menggunakan sifat komutatif, asosiatif, dan distributif, serta mengubah bentuk aljabar menjadi jabaran atau faktor yang ekuivalen.

Suku sejenis

Suku sejenis mempunyai bagian variabel beserta pangkat yang sama. Contohnya 3x dan -5x sejenis, sedangkan 3x dan 3y tidak sejenis. Demikian juga 2x² dan 7x² sejenis, tetapi x² dan x tidak sejenis. Suku-suku konstanta dapat digabungkan sesamanya.

Untuk menjumlahkan atau mengurangkan suku sejenis, hitung koefisiennya lalu pertahankan bagian variabel. Contohnya 3x + 5x = (3 + 5)x = 8x. Bentuk 8x berarti delapan kelompok x, bukan x pangkat delapan. Bentuk 2x + 3y tetap seperti itu jika tidak ada informasi hubungan x dan y.

Contoh lengkap: 7a - 2b - 3a + 5b + 4 = (7 - 3)a + (-2 + 5)b + 4 = 4a + 3b + 4. Susun kelompok dengan tetap membawa tanda setiap suku.

Koefisien pecahan memakai aturan yang sama. Contohnya (1/2)x + (1/3)x = (3/6 + 2/6)x = (5/6)x. Jangan menjumlahkan penyebutnya.

Sifat operasi yang tetap berlaku

Sifat	Aturan	Contoh
Komutatif penjumlahan	a + b = b + a	2x + 5 = 5 + 2x
Komutatif perkalian	ab = ba	3 dikali x = x dikali 3
Asosiatif penjumlahan	(a + b) + c = a + (b + c)	(x + 2) + 3 = x + (2 + 3)
Asosiatif perkalian	(ab)c = a(bc)	(2a)b = 2(ab)
Distributif	a(b + c) = ab + ac	3(x + 4) = 3x + 12

Untuk menghindari rancu dengan variabel x, kamu dapat menulis perkalian sebagai 3 dikali x. Bentuk ab selalu berarti perkalian a dan b. Pengurangan dan pembagian tidak bersifat komutatif secara umum: a - b tidak selalu sama dengan b - a.

Membuka kurung dengan distributif

Kalikan faktor di luar kurung dengan setiap suku di dalamnya. Contoh 4(2x - 3) = 8x - 12, bukan 8x - 3.

Perhatikan faktor negatif: -2(3x - 5) = -6x + 10 karena (-2) dikali (-5) menghasilkan +10. Tanda minus sebelum kurung juga berlaku pada seluruh isinya: -(x - 4) = -x + 4.

Untuk pengurangan dua bentuk, buka kurung dahulu: (5x + 2) - (2x - 7) = 5x + 2 - 2x + 7 = 3x + 9. Kesalahan yang sering terjadi adalah hanya mengubah tanda suku pertama di dalam kurung.

Perkalian bentuk aljabar

Pada perkalian suku tunggal, kalikan koefisien serta bagian variabel. Contohnya (3x)(2x) = 6x² karena x dikali x adalah x². Bandingkan dengan penjumlahan 3x + 2x = 5x.

Untuk dua bentuk dalam kurung, setiap suku kurung pertama mengalikan setiap suku kurung kedua:

(x + 2)(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6.

Hal ini dapat dipahami sebagai luas persegi panjang dengan panjang x + 3 dan lebar x + 2, untuk x positif. Luasnya dijumlahkan dari empat bagian: x², 3x, 2x, dan 6. Dalam operasi aljabar, hasil jabaran ini tetap ekuivalen untuk setiap nilai x.

Membagi bentuk aljabar

Pembagi tidak boleh nol. Contoh (12x + 6) : 3 = 4x + 2 dengan membagi setiap suku oleh 3. Pada (12x²) : (3x), hasilnya 4x dengan syarat x tidak nol. Faktor x yang sama dapat disederhanakan dalam perkalian atau pembagian, tetapi bukan dihapus sembarangan dari penjumlahan.

Misalnya (x + 2)/x tidak sama dengan 2. Bentuk itu dapat ditulis 1 + 2/x untuk x bukan nol.

Bentuk faktor

Memfaktorkan merupakan arah kebalikan distributif. Pada 8x + 12, faktor bersama terbesar adalah 4, sehingga 8x + 12 = 4(2x + 3). Periksa dengan membuka kurung kembali. Pada x² + 3x, faktor bersamanya x, sehingga menjadi x(x + 3).

Untuk bentuk sederhana x² + 7x + 12, cari dua bilangan yang jumlahnya 7 dan hasil kalinya 12, yaitu 3 dan 4. Maka x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4). Ini dapat diperiksa dengan distributif. Tidak semua bentuk memiliki faktor bilangan bulat yang mudah ditemukan; gunakan contoh sesuai cakupan latihan.

Ekuivalen berarti sama untuk setiap nilai yang diizinkan

Bentuk 2(x + 3) + x dan 3x + 6 ekuivalen karena distributif menghasilkan 2x + 6 + x = 3x + 6. Memeriksa satu nilai variabel saja tidak cukup membuktikan ekuivalensi. Misalnya x² dan x sama saat x = 1, tetapi berbeda saat x = 2. Gunakan sifat operasi untuk menjelaskan kesamaan umumnya.

Cek pemahaman

1. Sederhanakan 6x + 2 - 4x + 7.
2. Jabarkan -3(x - 2).
3. Jabarkan (x + 1)(x + 4).
4. Faktorkan 10x + 15.

Pembahasan

1. (6 - 4)x + 2 + 7 = 2x + 9.
2. -3x + 6.
3. x² + 4x + x + 4 = x² + 5x + 4.
4. Keluarkan faktor 5: 5(2x + 3).

Ringkasan

Gabungkan hanya suku sejenis. Gunakan distributif dengan teliti terhadap tanda, lalu periksa bentuk faktor dengan menjabarkannya kembali. Selalu pertahankan syarat pembagi bukan nol.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan dan contoh baru berdasarkan Bab 4 bagian B, Matematika untuk SMP/MTs Kelas VII (2022), halaman 136-146 (halaman PDF 158-168).