Kesebangunan pada Segitiga - Matematika Kelas 7 SMP

Tujuan belajar

Kamu akan menentukan kesebangunan dua segitiga, menjaga urutan pasangan titik sudut, dan menggunakan perbandingan sisi untuk mencari ukuran yang belum diketahui dalam soal geometri maupun pengukuran tak langsung.

Pasangkan titik, sudut, dan sisi

Jika segitiga ABC sebangun dengan segitiga DEF dengan urutan tersebut, A bersesuaian dengan D, B dengan E, dan C dengan F. Jadi sudut A = sudut D, sudut B = sudut E, dan sudut C = sudut F.

Sisi segitiga ABC	Sisi segitiga DEF yang bersesuaian
AB	DE
BC	EF
AC	DF

Semua rasio dalam satu perhitungan harus memakai arah yang sama. Contohnya DE/AB = EF/BC = DF/AC menyatakan faktor dari ABC ke DEF. Jangan mencampur DE/AB dengan BC/EF karena rasio kedua berarah sebaliknya.

Dua segitiga dapat tampak berbeda arahnya akibat diputar atau dicerminkan. Gunakan data sudut dan sisi untuk menentukan korespondensi, bukan hanya posisi gambar.

Dua sudut bersesuaian cukup

Jumlah sudut segitiga 180°. Jika dua pasangan sudut sama besar, pasangan ketiga juga sama besar. Karena itu, dua pasangan sudut sama besar cukup untuk membuktikan dua segitiga sebangun. Syarat ini sering disebut sudut-sudut atau AA.

Misalnya segitiga ABC mempunyai sudut A = 50° dan B = 60°, sehingga C = 70°. Segitiga DEF mempunyai D = 50° dan E = 60°, sehingga F = 70°. Keduanya sebangun dengan urutan ABC terhadap DEF.

Sebaliknya, hanya satu pasangan sudut sama belum cukup. Dua segitiga siku-siku sama-sama memiliki sudut 90°, tetapi sudut lancipnya belum tentu sama. Segitiga bersudut 30°, 60°, 90° tidak sebangun dengan segitiga bersudut 45°, 45°, 90°.

Syarat perbandingan sisi

Kesebangunan juga dapat ditentukan dari tiga pasangan sisi yang rasionya sama, disebut sisi-sisi-sisi atau SSS. Contohnya sisi 3, 4, 5 cm dan 6, 8, 10 cm mempunyai faktor sama: 6/3 = 8/4 = 10/5 = 2. Keduanya sebangun.

Untuk syarat sisi-sudut-sisi atau SAS, dua pasangan sisi harus mempunyai rasio sama dan sudut yang diapit kedua sisi itu sama besar. Misalnya AB = 4 cm, AC = 6 cm, DE = 6 cm, DF = 9 cm, serta sudut A = sudut D = 50°. Rasio DE/AB = DF/AC = 1,5 dan sudut apit sama, sehingga ABC sebangun dengan DEF.

Dua pasangan sisi yang sebanding tanpa informasi sudut apit belum cukup menjamin kesebangunan. Begitu pula jangan mengganti syarat sudut apit dengan sembarang sudut lain.

Menghitung panjang yang belum diketahui

Segitiga ABC sebangun dengan DEF, dengan AB = 6 cm, BC = 8 cm, AC = 10 cm, dan DE = 9 cm. Faktor dari ABC ke DEF adalah 9/6 = 1,5. Maka EF = 8 x 1,5 = 12 cm dan DF = 10 x 1,5 = 15 cm.

Periksa hasil: 9/6 = 12/8 = 15/10. Pemeriksaan ini membantu menemukan salah pasangan sisi. Jangan menjumlahkan selisih panjang 9 - 6 = 3 ke setiap sisi lain; kesebangunan memakai perkalian faktor, bukan penambahan yang sama.

Garis sejajar di dalam segitiga

Pada sketsa, D terletak pada AB, E pada AC, dan DE sejajar BC. Huruf menunjukkan hubungan titik; sketsa tidak dibuat menurut ukuran tertentu.

             A
            / \
           /   \
          D-----E
         /       \
        B---------C

Sudut A dipakai bersama. Sudut ADE sama dengan ABC, dan AED sama dengan ACB karena garis sejajar. Dengan syarat dua sudut, ADE sebangun dengan ABC, dengan A ke A, D ke B, dan E ke C.

Gunakan AD/AB = AE/AC = DE/BC. Jika AD = 4 cm, AB = 10 cm, AC = 15 cm, dan BC = 12 cm, faktor kecil terhadap besar adalah 4/10 = 2/5. Maka AE = 6 cm dan DE = 4,8 cm. Karena E berada di antara A dan C, EC = AC - AE = 15 - 6 = 9 cm.

Hati-hati membedakan panjang sisi utuh dan potongannya. Penyebut pada AD/AB adalah AB, bukan DB. Jika yang diketahui AD = 4 dan DB = 6, hitung AB = 4 + 6 = 10 terlebih dahulu.

Mengukur tinggi dengan bayangan

Sebuah tongkat tegak setinggi 1,5 meter mempunyai bayangan 2 meter. Pada saat yang sama, bayangan pohon 8 meter di permukaan tanah datar yang sama. Dengan sinar matahari dianggap sejajar dan pohon tegak, segitiga tongkat-bayangan sebangun dengan segitiga pohon-bayangan.

Rasio tinggi terhadap bayangan sama, sehingga tinggi pohon/8 = 1,5/2. Tinggi pohon = 8 x 1,5/2 = 6 meter. Pengukuran harus dilakukan pada kondisi yang sesuai; panjang bayangan pada waktu berbeda tidak otomatis dapat dibandingkan dengan model ini.

Cek pemahaman

1. Dua sudut segitiga A adalah 40° dan 65°; segitiga B mempunyai sudut 65° dan 75°. Apakah keduanya sebangun?
2. Sisi segitiga kecil 5, 6, 8 cm. Segitiga besar yang sebangun memiliki sisi bersesuaian dengan 5 cm sepanjang 15 cm. Tentukan sisi lainnya.
3. Pada sketsa, AD = 3, AB = 9, BC = 12 cm. Berapa DE?
4. Tongkat 2 meter memiliki bayangan 3 meter. Bayangan gedung 12 meter pada kondisi yang sama. Berapa tinggi gedung?

Pembahasan

1. Ya. Sudut ketiga segitiga A adalah 75°, sedangkan segitiga B memiliki sudut ketiga 40°. Pasangan sudutnya sama setelah diurutkan menurut korespondensi.
2. Faktor 15/5 = 3. Dua sisi lain 18 dan 24 cm.
3. DE/12 = 3/9, sehingga DE = 4 cm.
4. Tinggi gedung = 12 x 2/3 = 8 meter.

Ringkasan

Buktikan kesebangunan dengan data sudut atau perbandingan sisi yang cukup. Tentukan korespondensi titik sebelum menulis rasio. Pada soal nyata, pastikan asumsi seperti kesejajaran sinar dan kesamaan waktu pengukuran terpenuhi.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan dan contoh baru berdasarkan Bab 5 bagian C, Matematika untuk SMP/MTs Kelas VII (2022), halaman 175-182 (halaman PDF 197-204).