Barisan Aritmetika - Matematika Kelas 10 SMA

Tujuan belajar

Kamu dapat mengenali barisan aritmetika, menentukan suku ke-$n$, dan mencari suku pertama atau beda dari informasi yang diberikan.

Barisan, suku, dan aturan

Barisan adalah susunan bilangan yang berurutan. Setiap bilangan disebut suku. Notasi $U_n$ menyatakan suku ke-$n$, dengan $n=1,2,3,\ldots$. Pada $5,9,13,17,\ldots$, suku pertama $a=U_1=5$.

Barisan aritmetika memiliki selisih tetap antara suku yang berurutan. Selisih ini disebut beda dan ditulis $b=U_{n+1}-U_n$. Pada contoh tadi, $b=4$. Barisan $20,17,14,11,\ldots$ juga aritmetika, dengan $b=-3$. Jika $b=0$, semua sukunya sama.

Beberapa suku awal saja tidak menentukan satu aturan yang unik. Dalam latihan, gunakan aturan yang dinyatakan, misalnya beda tetap. Jangan menyimpulkan semua pola bilangan merupakan barisan aritmetika.

Menurunkan rumus suku

Dari suku pertama ke suku ke-2 terdapat satu penambahan beda. Untuk mencapai suku ke-$n$, terdapat $n-1$ penambahan beda:

$$ U_n=a+(n-1)b $$

Contoh: barisan aritmetika memiliki $a=7$ dan $b=3$. Suku ke-12 adalah $U_{12}=7+11(3)=40$. Kesalahan yang sering terjadi adalah memakai $a+nb$, sehingga beda ditambahkan satu kali terlalu banyak.

Menentukan parameter dari dua suku

Jika $U_3=11$ dan $U_8=31$, maka $U_8-U_3=(8-3)b$. Jadi $20=5b$, sehingga $b=4$. Substitusi ke $U_3=a+2b$ menghasilkan $a=3$.

Rumusnya $U_n=3+4(n-1)=4n-1$. Periksa kembali: $U_3=11$ dan $U_8=31$.

Untuk mencari nomor suatu suku, selesaikan persamaan kemudian pastikan hasilnya bilangan bulat positif. Pada $4,7,10,\ldots$, persamaan $4+3(n-1)=20$ memberi $n=19/3$. Jadi 20 bukan suku barisan itu.

Contoh susunan kursi

Sebuah aula memiliki 14 kursi di baris pertama. Setiap baris berikutnya memuat 3 kursi lebih banyak. Banyak kursi di baris ke-10 adalah $14+9(3)=41$.

Ini jumlah kursi pada satu baris. Total kursi dari baris pertama hingga kesepuluh adalah persoalan deret, bukan cukup dijawab dengan $U_{10}$.

Cek pemahaman

1. Tentukan beda dari $18,14,10,6,\ldots$ jika barisan itu aritmetika.
2. Tentukan $U_9$ untuk $a=6$ dan $b=5$.
3. Jika $U_2=8$ dan $U_6=24$, tentukan $a$ dan $b$.

Pembahasan

1. $b=14-18=-4$.
2. $U_9=6+8(5)=46$.
3. $4b=24-8=16$, sehingga $b=4$. Dari $a+b=8$, diperoleh $a=4$.

Ingat kembali

Gunakan beda tetap, perhatikan $n-1$, dan bedakan nomor suku, nilai suku, serta jumlah beberapa suku.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, contoh, dan soal baru berdasarkan Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi), 2023, Bab 2, bagian A.1, halaman 37-44 (halaman PDF 53-60).