Pertidaksamaan Linear Dua Variabel - Matematika Kelas 10 SMA

Tujuan belajar

Kamu dapat membaca tanda pertidaksamaan, menguji sebuah titik, serta menentukan garis batas dan sisi bidang yang memenuhi pertidaksamaan linear dua variabel.

Persamaan dan pertidaksamaan berbeda

Persamaan $2x+y=8$ memuat titik-titik pada sebuah garis. Pertidaksamaan $2x+y\le8$ memuat satu sisi bidang sekaligus garis batasnya. Bentuk $2x+y<8$ memuat sisi yang sama, tetapi garis batas tidak termasuk.

Tanda	Makna	Garis batas pada grafik
$\le$	kurang dari atau sama dengan	Utuh; termasuk solusi
$\ge$	lebih dari atau sama dengan	Utuh; termasuk solusi
$<$	kurang dari	Putus-putus; tidak termasuk
$>$	lebih dari	Putus-putus; tidak termasuk

Garis batas diperoleh dengan mengganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan. Langkah ini membantu menggambar batas, bukan mengubah seluruh daerah solusi menjadi sebuah garis.

Menguji titik

Apakah $(2,3)$ memenuhi $x+2y\le8$? Substitusi memberi $2+2(3)=8$. Karena tanda memuat sama dengan, titik ini termasuk. Untuk $x+2y<8$, titik yang sama justru tidak termasuk.

Gunakan urutan koordinat secara konsisten: $(2,3)$ berarti $x=2$, $y=3$. Solusi pertidaksamaan adalah kumpulan pasangan, bukan hanya satu angka untuk $x$ atau $y$.

Menentukan sisi bidang

Untuk $2x+y\le8$, garis batas memotong sumbu di $(4,0)$ dan $(0,8)$. Pilih titik uji yang tidak terletak pada garis, misalnya $(0,0)$. Hasil $0\le8$ benar, maka sisi yang memuat titik asal adalah daerah solusi.

Jika pertidaksamaannya $2x+y\ge8$, titik asal tidak memenuhi. Daerah solusi berada di sisi seberang garis. Jangan menggunakan $(0,0)$ sebagai titik uji jika garis batas melewatinya; pilih titik lain seperti $(1,0)$ yang tidak berada pada batas.

Tanda berbalik saat dibagi bilangan negatif

Dari $x-2y>4$, kurangi kedua ruas dengan $x$ untuk memperoleh $-2y>4-x$. Membagi dengan $-2$ membalik tanda:

$$ y<\frac{x-4}{2}. $$

Jadi daerahnya berada di bawah garis batas, tanpa menyertakan garis tersebut. Sebaliknya, menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan sama tidak membalik tanda.

Batas horizontal, vertikal, dan konteks

Pertidaksamaan $x\le3$ memakai garis vertikal $x=3$ dan sisi kiri. Bentuk $y>-1$ memakai garis horizontal $y=-1$ dan sisi atas. Dalam konteks banyak benda, syarat $x\ge0$ dan $y\ge0$ sering diperlukan, tetapi jangan menambahkannya secara diam-diam pada soal yang membahas seluruh bidang real.

Cek pemahaman

1. Apakah $(1,2)$ memenuhi $3x+y<6$?
2. Apakah garis batas $x+y>4$ digambar utuh?
3. Selesaikan $-3x+6\le12$.

Pembahasan

1. Ya, karena $3(1)+2=5<6$.
2. Tidak. Garis $x+y=4$ putus-putus dan tidak termasuk solusi.
3. $-3x\le6$, sehingga $x\ge-2$ setelah membagi dengan $-3$.

Ringkasan

Gambar garis batas, periksa apakah batas ikut, lalu uji titik yang tidak berada pada garis. Jika mengalikan atau membagi dengan bilangan negatif, balik tanda pertidaksamaan.

Lanjut belajar

Latihan akhir Bab 4.

Materi sebelumnya: Menentukan Banyaknya Solusi Sistem Linear.

Materi berikutnya: Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan.

Acuan buku

Materi, contoh, ilustrasi, dan soal baru disusun berdasarkan cakupan Bab 4 Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi), 2023, bagian B, mulai halaman 119 (halaman PDF 135). Soal latihan bukan salinan soal buku.