Menentukan Banyaknya Solusi (Pendalaman) - Matematika Kelas 10 SMA

Tujuan belajar

Kamu dapat membedakan sistem dengan satu solusi, tanpa solusi, atau tak hingga banyak solusi berdasarkan grafik dan hasil eliminasi.

Mengingat sistem dua variabel

Untuk dua persamaan linear yang masing-masing menggambarkan garis, terdapat tiga kemungkinan:

• Garis berpotongan pada satu titik: satu solusi.
• Garis berbeda yang sejajar: tidak ada solusi.
• Garis berimpit: tak hingga banyak solusi.

Pada gambar, $x+y=4$ dan $x-y=0$ memiliki solusi $(2,2)$. Grafik hanya membantu melihat solusi; substitusi $2+2=4$ dan $2-2=0$ memastikan keduanya terpenuhi.

Kontradiksi berarti tidak ada solusi

Sistem $x+y=2$ dan $x+y=5$ menuntut ruas kiri yang sama bernilai dua bilangan berbeda. Mengurangkan persamaan menghasilkan $0=3$, yang selalu salah.

Pada tiga variabel, sistem yang memuat $x+y+z=6$ dan $2x+2y+2z=13$ juga bertentangan. Kalikan persamaan pertama dengan 2 sehingga ruas kirinya sama, tetapi ruas kanannya 12 dan 13. Tidak ada tripel yang dapat memenuhi semuanya.

Persamaan bergantung dan variabel bebas

Sistem $x+y+z=6$, $2x+2y+2z=12$, dan $3x+3y+3z=18$ sebenarnya hanya memberi satu syarat yang berbeda. Dua persamaan terakhir merupakan kelipatan yang pertama.

Untuk variabel real, pilih $y$ dan $z$ secara bebas lalu tentukan $x=6-y-z$. Diperoleh tak hingga banyak solusi. Jika konteks membatasi variabel menjadi bilangan bulat tak negatif, jumlah kemungkinan perlu dihitung kembali; tidak otomatis tak hingga.

Hati-hati dengan hasil 0 = 0

Hasil eliminasi $0=0$ menunjukkan bahwa pada langkah itu tidak ada syarat baru. Hasil tersebut belum cukup untuk menyimpulkan seluruh sistem memiliki banyak solusi. Periksa semua persamaan yang masih tersisa.

Contoh sistem $x+y=2$, $x-y=0$, dan $2x+2y=4$ memiliki persamaan ketiga yang berlebih. Meski eliminasi dapat menghasilkan $0=0$, dua persamaan pertama tetap menentukan satu solusi, yaitu $(1,1)$.

Prinsipnya adalah mencari apakah syarat-syarat yang tersisa masih menentukan semua variabel secara tunggal, menyisakan variabel bebas, atau menghasilkan kontradiksi.

Menafsirkan model

Satu solusi harga berarti model menentukan satu nilai untuk setiap harga. Banyak solusi berarti data belum cukup membedakan semua harga. Tidak ada solusi berarti data dan asumsi model tidak konsisten; bukan berarti semua barang gratis atau tidak dapat diberi harga.

Cek pemahaman

1. Berapa banyak solusi $x+y=3$ dan $2x+2y=6$ untuk variabel real?
2. Apa arti hasil eliminasi $0=-5$?
3. Apakah satu persamaan berlebih selalu membuat sistem tidak punya solusi?

Pembahasan

1. Tak hingga; kedua persamaan menggambarkan garis yang sama.
2. Kontradiksi, sehingga sistem tidak memiliki solusi.
3. Tidak. Syarat berlebih dapat konsisten dengan persamaan yang sudah ada.

Ingat kembali

Periksa konsistensi semua syarat. Kontradiksi memastikan tidak ada solusi, sedangkan identitas perlu ditafsirkan bersama sistem yang tersisa.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, grafik, contoh, dan soal baru berdasarkan Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi), 2023, Bab 4, bagian A, halaman 114-118 (halaman PDF 130-134).