Deret Geometri Tak Hingga - Matematika Kelas 10 SMA

Tujuan belajar

Kamu dapat menentukan apakah deret geometri tak hingga mempunyai jumlah berhingga, menghitung jumlahnya, dan menafsirkan jumlah itu sebagai limit.

Jumlah parsial dan konvergensi

Deret tak hingga $a+ar+ar^2+\cdots$ diperiksa melalui jumlah parsialnya $S_n$. Deret konvergen jika $S_n$ mendekati satu bilangan berhingga ketika $n$ terus bertambah.

Untuk $a\ne0$, deret geometri tak hingga konvergen tepat ketika $\lvert r\rvert<1$. Sebab $r^n$ menuju nol, rumus jumlah berhingga memberikan:

$$ S_\infty=\frac{a}{1-r},\qquad \lvert r\rvert<1 $$

Jika $-1<r<0$, tanda $r^n$ bergantian, tetapi nilai mutlaknya menuju nol. Deret tetap bisa konvergen. Jadi jangan mengganti syarat $\lvert r\rvert<1$ dengan syarat rasio harus positif.

Melihat jumlah yang mendekati satu

Gambar menunjukkan jumlah parsial $1/2+1/4+1/8+\cdots$. Setelah empat suku, $S_4=15/16$ dan masih tersisa $1/16$ menuju satu. Untuk setiap $n$ berhingga, $S_n=1-(1/2)^n<1$. Nilai limitnya tepat 1, bukan berarti jumlah empat suku sudah sama dengan 1.

Contoh rasio positif dan negatif

Pada $6+3+3/2+\cdots$, $a=6$ dan $r=1/2$. Jumlah tak hingganya $6/(1-1/2)=12$.

Pada $3-3/2+3/4-\cdots$, $r=-1/2$. Jumlahnya $3/(1+1/2)=2$. Jumlah parsial dapat berada bergantian di atas dan di bawah limit.

Ketika rumus tidak dapat digunakan

Untuk $a\ne0$, rasio dengan $\lvert r\rvert\ge1$ tidak menghasilkan deret geometri konvergen. Pada $1+1+1+\cdots$, jumlah parsial bertambah tanpa batas. Pada $1-1+1-1+\cdots$, jumlah parsial bergantian antara 1 dan 0, sehingga tidak menuju satu nilai.

Deret $2+4+8+\cdots$ tidak memiliki jumlah berhingga. Memasukkan $r=2$ ke $a/(1-r)$ untuk memperoleh $-2$ adalah penggunaan rumus di luar syaratnya.

Model panjang lintasan pantulan

Sebuah bola dilepas dari ketinggian 6 meter. Dalam model ideal, tiap pantulan mencapai setengah tinggi sebelumnya. Penurunan awal menempuh 6 meter. Semua tinggi pantulan $3,3/2,3/4,\ldots$ ditempuh naik dan turun, sehingga total lintasan limit:

$$ L=6+2\left(\frac{3}{1-1/2}\right)=18 $$

Ini model ideal lintasan tak hingga dengan jumlah berhingga. Model tidak menyatakan bola berhenti tepat pada satu pantulan berhingga. Untuk kenyataan fisik, aturan pantulan dapat berubah.

Cek pemahaman

1. Apakah $5+10+20+\cdots$ konvergen?
2. Hitung jumlah $4-2+1-\cdots$.
3. Jika $a=8$ dan jumlah tak hingganya 20, tentukan $r$.

Pembahasan

1. Tidak, karena $r=2$.
2. $r=-1/2$, sehingga $S_\infty=4/(1+1/2)=8/3$.
3. $20=8/(1-r)$ menghasilkan $r=3/5$. Nilai ini memenuhi $\lvert r\rvert<1$.

Ingat kembali

Periksa konvergensi sebelum memakai rumus. Bedakan jumlah parsial berhingga dari limit jumlah tak hingga.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, contoh, dan soal baru berdasarkan Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi), 2023, Bab 2, bagian B.3, halaman 60-64 (halaman PDF 76-80).