Tangen dan Perbandingan Sisi - Matematika Kelas 10 SMA

Tujuan belajar

Kamu dapat memakai tangen pada segitiga siku-siku, mencari panjang sisi, dan menjelaskan mengapa tangen tidak berubah ketika ukuran segitiga diperbesar.

Tangen membandingkan dua kaki

Untuk sudut lancip $\theta$ pada segitiga siku-siku:

$$ \tan\theta=\frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}} $$

Sisi samping di sini adalah kaki yang berdekatan dengan sudut acuan, bukan hipotenusa. Jika sisi depan 3 cm dan sisi samping 4 cm, maka $\tan\theta=3/4=0{,}75$. Nilai ini tidak memakai satuan panjang karena satuan yang sama saling menyederhanakan.

Jika satu sisi ditulis dalam meter dan sisi lain dalam sentimeter, samakan dahulu satuannya. Sisi depan 150 cm dan samping 2 m memberi tangen $150/200=0{,}75$, bukan 75.

Mencari sisi dari perbandingan

Jika $\tan\theta=3/4$ dan sisi samping 12 cm, maka sisi depan $d$ memenuhi $d/12=3/4$, sehingga $d=9$ cm.

Jika justru sisi depannya diketahui 6 cm, sisi samping $s$ memenuhi $6/s=3/4$. Maka $s=6/(3/4)=8$ cm. Perhatikan apakah sisi yang dicari berada di pembilang atau penyebut.

Rasio $3/4$ tidak berarti kedua kaki harus tepat 3 cm dan 4 cm. Panjang 9 cm dan 12 cm, atau 15 cm dan 20 cm, memberikan rasio yang sama.

Kesebangunan dan sudut

Untuk sudut lancip yang tetap, memperbesar semua panjang dengan faktor $k>0$ memberi $kd/ks=d/s$. Tangen tidak berubah.

Dalam rentang sudut lancip, semakin besar sudut, semakin besar nilai tangen. Untuk tinggi objek yang tetap, pengamat yang lebih dekat pada kaki objek melihat sudut elevasi lebih besar, asalkan tanah datar dan tinggi titik pengamatannya sama.

Jika memakai kalkulator untuk sudut dalam derajat, pilih mode DEG. Contoh $\tan35^\circ\approx0{,}7002$. Tanda $\approx$ menunjukkan pembulatan; simpan lebih banyak digit selama menghitung dan bulatkan pada hasil akhir sesuai instruksi.

Contoh bayangan

Pada model tanah datar, sebuah tiang vertikal mempunyai bayangan 8 m. Jika sudut datang sinar terhadap tanah memenuhi $\tan\theta=3/4$, tinggi tiang $h$ adalah $h=8(3/4)=6$ m.

Dua objek vertikal pada tanah datar dan sinar yang sejajar pada waktu yang sama menghasilkan segitiga sebangun. Tinggi 1,5 m dengan bayangan 2 m memberikan rasio yang sama dengan tinggi 6 m dan bayangan 8 m. Bila waktu pengukuran berubah, sudut sinar dapat berubah pula.

Cek pemahaman

1. Sisi depan 5 cm dan samping 12 cm. Berapa $\tan\theta$?
2. Jika $\tan\theta=2/3$ dan samping 15 cm, berapa sisi depan?
3. Jika $\tan\theta=2/3$ dan depan 8 cm, berapa sisi samping?

Pembahasan

1. $5/12$.
2. $15(2/3)=10$ cm.
3. $8/(2/3)=12$ cm.

Ingat kembali

Tangen menggunakan depan dibagi samping. Samakan satuan dan jangan menukar kaki segitiga dengan hipotenusa.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, diagram, contoh, dan soal baru berdasarkan Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi), 2023, Bab 3, bagian A.2-A.3, halaman 79-85 (halaman PDF 95-101).