Sudut Elevasi, Depresi, dan Pengukuran - Matematika Kelas 10 SMA

Tujuan belajar

Kamu dapat membedakan elevasi dan depresi, menempatkan garis horizontal, serta menghitung tinggi objek dengan memperhitungkan tinggi alat atau mata.

Sudut diukur dari horizontal

Sudut elevasi adalah sudut dari garis horizontal pengamat ke garis pandang yang mengarah ke atas. Sudut depresi adalah sudut dari garis horizontal pengamat ke garis pandang yang mengarah ke bawah.

Keduanya bukan sudut terhadap garis vertikal. Jika garis pandang membentuk $30^\circ$ terhadap horizontal, sudut lancipnya terhadap vertikal adalah $60^\circ$.

Diagram pengukuran tinggi

Dalam diagram, tanah pada kaki pengamat dan kaki objek berada pada ketinggian yang sama. Objek vertikal; $d$ adalah jarak horizontal, $h_m$ adalah tinggi mata atau alat dari tanah, dan $H$ adalah tinggi total objek.

Segitiga siku-siku pada garis pandang mempunyai sisi depan $H-h_m$, sehingga:

$$ \tan\theta=\frac{H-h_m}{d}, \qquad H=d\tan\theta+h_m $$

Garis pandang miring tidak boleh langsung dipakai sebagai $d$. Jika tanah tidak datar atau ketinggian kedua kaki berbeda, selisih elevasi tanah perlu dimasukkan ke model.

Contoh dengan tinggi mata

Jarak horizontal pengamat ke kaki tiang 12 m. Tinggi mata 1,5 m dan $\tan\theta=3/4$. Selisih tinggi antara puncak dan mata adalah $12(3/4)=9$ m. Tinggi total tiang adalah $9+1{,}5=10{,}5$ m.

Jawaban 9 m belum menyertakan tinggi mata. Sebaliknya, jika sudut diukur dengan alat tepat pada permukaan tanah dan kaki objek setinggi alat tersebut, maka $h_m=0$.

Depresi dan garis sejajar

Pengamat pada balkon melihat titik di tanah dengan sudut depresi $30^\circ$. Garis horizontal di pengamat dan titik tanah sejajar, sehingga sudut elevasi dari titik tanah ke pengamat juga $30^\circ$.

Jika pengamat berada 10 m di atas titik tanah, jarak horizontal $d$ memenuhi $\tan30^\circ=10/d$. Gunakan selisih tinggi terhadap titik pengamatan, bukan otomatis tinggi bangunan jika titik pengamat berada di atas atau di bawah puncaknya.

Klinometer dan pembacaan sudut

Klinometer sederhana pada buku membantu membaca kemiringan garis pandang. Tergantung pemasangan busur dan penunjuk, angka yang terbaca belum tentu langsung sudut elevasi.

Periksa acuan alat ketika garis pandangnya horizontal dan tentukan bagaimana membaca selisih sudutnya. Jika suatu alat secara khusus menunjukkan sudut terhadap vertikal, gunakan komplemen $90^\circ$ dikurangi bacaan itu. Jangan mengurangi semua bacaan klinometer dari $90^\circ$ tanpa mengetahui acuannya.

Catat satuan jarak, tinggi alat, sudut, dan ketelitian pengukuran. Hasil dari data ukur merupakan perkiraan, bukan nilai yang lebih pasti daripada datanya.

Cek pemahaman

1. Dengan $d=10$ m, $\tan\theta=1$, dan $h_m=1{,}6$ m, tentukan $H$.
2. Apakah sudut depresi diukur dari garis vertikal?
3. Jika alat membaca $65^\circ$ terhadap vertikal, berapa sudut elevasinya?

Pembahasan

1. $H=10(1)+1{,}6=11{,}6$ m.
2. Tidak; acuannya horizontal.
3. $90^\circ-65^\circ=25^\circ$, sesuai acuan vertikal yang dinyatakan.

Ingat kembali

Gambar horizontal melalui mata atau alat. Bedakan tinggi total, selisih tinggi, jarak horizontal, dan garis pandang.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, diagram, contoh, dan soal baru berdasarkan Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi), 2023, Bab 3, bagian A (pengayaan), halaman 86-88 (halaman PDF 102-104).