Penerapan Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan - Matematika Kelas 10 SMA

Tujuan belajar

Kamu dapat memilih model persamaan atau pertidaksamaan, menyelesaikannya, serta menilai hasilnya dalam masalah paket barang, kapasitas, anggaran, dan rencana produksi. Semua angka di sini adalah contoh latihan, bukan data harga nyata.

Kapan memakai persamaan?

Gunakan persamaan ketika informasi menyatakan nilai yang tepat, seperti total pembayaran untuk komposisi barang tertentu. Untuk harga tiga jenis tiket, misalkan $x,y,z$ berturut-turut harga tiket anak, dewasa, dan lansia dalam ribuan rupiah.

Tiga transaksi memberi $2x+y+z=75$, $x+2y+z=85$, dan $x+y+2z=80$. Mengurangkan persamaan pertama dari kedua menghasilkan $y-x=10$. Membandingkan persamaan ketiga dengan pertama memberi $z-x=5$. Substitusi $y=x+10$ dan $z=x+5$ ke persamaan pertama menghasilkan $4x+15=75$.

Maka $x=15$, $y=25$, dan $z=20$. Harga tiket anak Rp15.000, dewasa Rp25.000, dan lansia Rp20.000. Ketiga transaksi harus diperiksa kembali; jangan mengandalkan satu persamaan saja.

Kapan memakai pertidaksamaan?

Frasa paling banyak, tidak melebihi, dan maksimal diterjemahkan menjadi $\le$. Frasa paling sedikit, setidaknya, dan minimal menjadi $\ge$. Lebih dari memakai $>$, sedangkan kurang dari memakai $<$.

Misalkan sebuah kelompok membuat paket A sebanyak $x$ dan paket B sebanyak $y$. Jumlah paket paling banyak 6, sedangkan persediaan bahan paling banyak 8 satuan. Paket A membutuhkan dua satuan bahan dan paket B satu satuan. Modelnya $x+y\le6$, $2x+y\le8$, serta $x,y\ge0$ dan bulat.

Rencana $(2,4)$ memenuhi semua batas dan menggunakan seluruh bahan serta kapasitas. Rencana $(3,3)$ memakai sembilan satuan bahan sehingga harus ditolak. Tersedia kapasitas kosong bukan kesalahan: kata maksimal tidak berarti wajib habis.

Memeriksa rencana dengan pendapatan berbeda

Dalam contoh latihan, pendapatan per paket A adalah 5 satuan uang dan B 4 satuan uang. Untuk empat rencana yang sudah diketahui layak, $(0,0)$, $(4,0)$, $(2,4)$, dan $(0,6)$, nilai $5x+4y$ berturut-turut adalah 0, 20, 26, dan 24. Di antara empat rencana tersebut, $(2,4)$ memberikan nilai terbesar.

Pemeriksaan ini membandingkan rencana yang disebutkan, bukan alasan untuk mengabaikan kelayakan. Rencana berpendapatan tinggi tetapi melanggar persediaan tetap tidak dapat digunakan.

Contoh batas impas sederhana

Sebuah kegiatan memiliki biaya tetap 60 ribu rupiah, biaya variabel 4 ribu per paket, dan penerimaan 7 ribu per paket terjual. Jika $n$ paket dibuat dan semuanya terjual, syarat tidak rugi adalah $7n\ge60+4n$. Jadi $n\ge20$. Tepat 20 paket mencapai impas; jika yang ditanyakan keuntungan positif, syaratnya $n>20$, sehingga minimal 21 paket utuh.

Asumsi semua paket terjual dan biaya sesuai model harus disebutkan. Jangan mengubah kalimat tidak rugi menjadi selalu memperoleh laba positif.

Cek pemahaman

1. Anggaran paling banyak 120 ribu untuk $x$ barang seharga 8 ribu dan $y$ barang seharga 12 ribu. Tuliskan batas anggaran.
2. Apakah $x=2{,}5$ cocok jika $x$ adalah jumlah bus?
3. Pada contoh impas, berapa minimal paket untuk keuntungan positif?

Pembahasan

1. $8x+12y\le120$, dengan jumlah barang bulat tidak negatif.
2. Tidak, jumlah bus harus bulat. Jangan membulatkan tanpa menguji ulang batas kapasitas dan anggaran.
3. 21 paket, karena 20 hanya impas.

Ringkasan

Definisikan variabel dan satuan, pilih tanda berdasarkan kalimat, tentukan domain, lalu periksa hasil terhadap seluruh informasi. Bedakan nilai tepat, batas kapasitas, impas, dan keuntungan positif.

Lanjut belajar

Latihan akhir Bab 4.

Materi sebelumnya: Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan.

Acuan buku

Materi, contoh, ilustrasi, dan soal baru disusun berdasarkan cakupan Bab 4 Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi), 2023, bagian B, mulai halaman 124 (halaman PDF 140). Soal latihan bukan salinan soal buku.