Sudut Istimewa dan Sudut Komplemen - Matematika Kelas 10 SMA

Tujuan belajar

Kamu dapat menurunkan nilai eksak sinus, cosinus, dan tangen untuk sudut $30^\circ$, $45^\circ$, dan $60^\circ$, serta menggunakan sudut komplemen.

Segitiga siku-siku sama kaki

Dua kaki sama panjang menyebabkan dua sudut lancip sama besar. Karena jumlahnya $90^\circ$, masing-masing $45^\circ$. Jika tiap kaki 1 satuan, hipotenusa $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$.

Maka $\sin45^\circ=\cos45^\circ=1/\sqrt2=\sqrt2/2$, sedangkan $\tan45^\circ=1$. Jika kedua kaki dikalikan faktor yang sama, semua perbandingan tetap.

Membelah segitiga sama sisi

Belah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 2 menjadi dua segitiga siku-siku menggunakan garis tingginya. Setengah alasnya 1 dan tingginya $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$.

Terbentuk perbandingan sisi $1:\sqrt3:2$, berurutan untuk sisi di depan $30^\circ$, di depan $60^\circ$, dan di depan $90^\circ$. Ini rasio panjang; ukuran sebenarnya dapat berupa kelipatan positifnya.

Nilai eksak

Sudut	Sinus	Cosinus	Tangen
$30^\circ$	$1/2$	$\sqrt3/2$	$\sqrt3/3$
$45^\circ$	$\sqrt2/2$	$\sqrt2/2$	$1$
$60^\circ$	$\sqrt3/2$	$1/2$	$\sqrt3$

Nilai ini eksak. Contohnya $\tan30^\circ=1/\sqrt3=\sqrt3/3\approx0{,}57735$. Angka 0,57 bukan nilai eksaknya dan bukan pembulatan ke dua desimal terdekat; pembulatan dua desimalnya 0,58.

Jika diminta nilai eksak, pertahankan bentuk akar. Jika diminta pembulatan, simpan digit cukup selama proses lalu bulatkan hasil akhir.

Sudut komplemen

Pada segitiga siku-siku, dua sudut lancip berjumlah $90^\circ$. Saat sudut acuan berpindah, sisi depan dan samping bertukar, tetapi hipotenusa tetap. Karena itu:

$$ \sin\theta=\cos(90^\circ-\theta), \qquad \cos\theta=\sin(90^\circ-\theta) $$

Contoh $\sin30^\circ=\cos60^\circ=1/2$. Untuk sudut lancip juga berlaku $\tan\theta=1/\tan(90^\circ-\theta)$. Jadi $\tan30^\circ$ dan $\tan60^\circ$ saling berkebalikan, bukan sama.

Contoh panjang sisi

Pada segitiga $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$, jika hipotenusa 14 cm, sisi di depan $30^\circ$ adalah 7 cm dan sisi di depan $60^\circ$ adalah $7\sqrt3$ cm.

Pada segitiga siku-siku sama kaki dengan setiap kaki 6 cm, hipotenusanya $6\sqrt2$ cm, bukan 12 cm.

Cek pemahaman

1. Hitung $\sin30^\circ+\cos60^\circ$.
2. Hitung $\tan30^\circ\tan60^\circ$.
3. Jika $\sin25^\circ=p$, nyatakan $\cos65^\circ$.

Pembahasan

1. $1/2+1/2=1$.
2. $(\sqrt3/3)(\sqrt3)=1$.
3. $\cos65^\circ=\sin25^\circ=p$.

Ingat kembali

Turunkan nilai istimewa dari dua bentuk segitiga. Bedakan nilai eksak dengan pendekatan desimal, serta perhatikan sisi di depan masing-masing sudut.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, diagram, contoh, dan soal baru berdasarkan Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi), 2023, Bab 3, bagian B.3, halaman 97-102 (halaman PDF 113-118).