Barisan Geometri - Matematika Kelas 10 SMA

Tujuan belajar

Kamu dapat mengenali rasio tetap, menentukan suku barisan geometri, dan menerjemahkan banyak tahap dengan indeks yang benar.

Rasio berbeda dari beda

Barisan geometri diperoleh dengan mengalikan suatu suku dengan rasio tetap $r$ untuk mendapatkan suku berikutnya. Pada $3,6,12,24,\ldots$, rasionya $r=2$, sedangkan selisih antarsukunya tidak tetap.

Dalam contoh dan rumus rasio di materi ini, suku pertama serta rasio bukan nol. Kita dapat menghitung $r=U_{n+1}/U_n$. Pada $64,32,16,\ldots$, $r=1/2$. Pada $2,-6,18,-54,\ldots$, $r=-3$ dan tanda sukunya bergantian.

Rasio negatif tidak berarti semua suku negatif. Jika $r=1$, semua suku sama; barisan konstan bukan nol juga aritmetika dengan beda 0.

Rumus suku ke-n

Dengan indeks pertama $n=1$, diperoleh $U_1=a$, $U_2=ar$, dan $U_3=ar^2$. Jadi:

$$ U_n=ar^{n-1} $$

Contoh $a=5$ dan $r=3$ memberi $U_6=5(3^5)=1.215$. Perhatikan bahwa faktor $r$ baru dikalikan lima kali untuk mencapai suku keenam.

Mencari rasio dari dua suku

Untuk barisan dengan rasio positif, jika $U_2=6$ dan $U_4=24$, maka $U_4/U_2=r^2=4$, sehingga $r=2$. Lalu $a=U_2/r=3$.

Syarat rasio positif menentukan jawabannya. Tanpa syarat itu, $r=-2$ juga memenuhi $r^2=4$. Jangan menghilangkan solusi negatif ketika konteks belum membatasinya.

Indeks suku dan tahap awal

Misalkan sebuah pola memuat 4 objek pada tahap 0, lalu setiap tahap jumlahnya menjadi tiga kali lipat. Jumlah pada tahap $t$ adalah $N(t)=4(3^t)$, untuk $t=0,1,2,\ldots$.

Pada tahap 3 jumlahnya $4(27)=108$. Jika tahap awal itu diberi nama suku pertama, maka tahap 3 adalah $U_4$, bukan $U_3$. Nyatakan titik awal sebelum memakai rumus.

Jika perubahan terjadi setiap 20 menit, dalam satu jam ada $60/20=3$ tahap. Dalam model tadi, satu jam setelah tahap awal juga menghasilkan 108 objek. Jumlah ini bukan penjumlahan objek dari semua tahap.

Cek pemahaman

1. Tentukan rasio dari $81,27,9,\ldots$.
2. Tentukan $U_5$ untuk $a=2$ dan $r=-2$.
3. Pola bermula dari 5 objek pada tahap 0 dan jumlahnya berlipat dua tiap tahap. Berapa objek pada tahap 4?

Pembahasan

1. $r=27/81=1/3$.
2. $U_5=2(-2)^4=32$.
3. $N(4)=5(2^4)=80$, atau suku ke-5 jika tahap 0 diberi indeks suku pertama.

Ingat kembali

Cari faktor pengali tetap, periksa tandanya, dan tentukan apakah indeks dimulai dari suku pertama atau tahap 0.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, contoh, dan soal baru berdasarkan Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi), 2023, Bab 2, bagian A.2, halaman 44-49 (halaman PDF 60-65).