Menentukan Banyaknya Solusi Sistem Linear - Matematika Kelas 10 SMA

Tujuan belajar

Kamu dapat membedakan sistem dengan satu solusi, tanpa solusi, dan tak hingga banyak solusi. Kamu juga dapat menjelaskan hasil eliminasi berupa kontradiksi atau identitas tanpa menarik kesimpulan terlalu cepat.

Tiga kemungkinan pada SPLDV

Dua garis pada bidang dapat berpotongan di satu titik, sejajar dan berbeda, atau berimpit. Keadaan tersebut bersesuaian dengan satu solusi, tidak ada solusi, atau tak hingga banyak solusi real.

Diagram memakai SPLDV untuk membantu visualisasi. Pada SPLTV, setiap persamaan linear tak konstan menggambarkan bidang di ruang tiga dimensi. Prinsipnya tetap sama: solusi adalah irisan semua himpunan penyelesaian, bukan sekadar titik potong dua objek yang dipilih.

Satu solusi

Sistem $x+y=4$ dan $x-y=0$ menghasilkan $2x=4$, sehingga $(x,y)=(2,2)$. Hanya pasangan ini yang memenuhi kedua persamaan sekaligus.

Pada SPLTV berbentuk $z=2$, $y+z=5$, dan $x+y+z=9$, kita memperoleh $z=2$, $y=3$, dan $x=4$. Tidak ada variabel yang bebas dipilih.

Tidak ada solusi

Bandingkan $x+y=4$ dengan $2x+2y=10$. Mengalikan persamaan pertama dengan 2 memberi $2x+2y=8$. Jika dibandingkan dengan persamaan kedua, muncul $0=2$, pernyataan yang tidak pernah benar. Sistem tidak memiliki solusi.

Kontradiksi seperti $0=5$ menandakan tidak ada solusi selama diperoleh melalui operasi yang sah. Kamu tidak perlu mencari nilai variabel lebih lanjut setelah ketidakkonsistenan ini terbukti.

Tak hingga banyak solusi

Untuk $x+y=4$ dan $2x+2y=8$, persamaan kedua hanyalah kelipatan persamaan pertama. Eliminasi memberi $0=0$. Kita dapat memilih $x=t$ dan menulis $y=4-t$ untuk setiap bilangan real $t$. Misalnya $(0,4)$, $(1,3)$, dan $(2,2)$ sama-sama memenuhi sistem.

Pada SPLTV $x+y+z=6$, $2x+2y+2z=12$, dan $x-y=0$, diperoleh $x=y=t$ dan $z=6-2t$. Ada satu parameter bebas, sehingga tak hingga banyak solusi real.

Hati-hati membaca identitas

Kemunculan satu baris $0=0$ berarti baris itu tidak menambah batasan. Kamu masih harus memeriksa persamaan lain: apakah saling konsisten, dan adakah variabel bebas? Jangan menyimpulkan hanya dari jumlah persamaan. Tiga persamaan dapat saling bergantung dan tidak memberikan tiga informasi yang berbeda.

Konteks dapat mempersempit jawaban

Parameter real yang bebas tidak berarti setiap nilainya cocok untuk masalah sehari-hari. Jika variabel menghitung orang, batasi pada bilangan bulat tidak negatif. Materi ini menyatakan banyaknya solusi aljabar atas bilangan real, kecuali soal memberikan batas lain.

Cek pemahaman

1. Tentukan banyaknya solusi $x+y=5$ dan $2x+2y=10$.
2. Bagaimana jika ruas kanan persamaan kedua menjadi 11?
3. Pada $z=1$, $y+z=4$, dan $x+y+z=8$, tentukan solusinya.

Pembahasan

1. Tak hingga banyak; kedua persamaan menyatakan garis yang sama.
2. Tidak ada; eliminasi menghasilkan kontradiksi.
3. Satu solusi, yaitu $(x,y,z)=(4,3,1)$.

Ringkasan

Periksa konsistensi serta kebebasan variabel setelah eliminasi. Kontradiksi meniadakan solusi; identitas mengharuskan kita meninjau batasan yang masih tersisa.

Lanjut belajar

Latihan akhir Bab 4.

Materi sebelumnya: Eliminasi dan Substitusi pada SPLTV.

Materi berikutnya: Pertidaksamaan Linear Dua Variabel.

Acuan buku

Materi, contoh, ilustrasi, dan soal baru disusun berdasarkan cakupan Bab 4 Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi), 2023, bagian A, mulai halaman 114 (halaman PDF 130). Soal latihan bukan salinan soal buku.