Pengayaan: Barisan Fibonacci - Matematika Kelas 10 SMA

Posisi pengayaan

Pengayaan ini mengikuti akhir Bab 2. Kamu akan mengenali barisan yang ditentukan oleh dua suku sebelumnya, bukan oleh beda atau rasio tetap.

Dua nilai awal dan aturan rekursif

Dalam materi ini, gunakan $F_1=1$, $F_2=1$, dan:

$$ F_n=F_{n-1}+F_{n-2},\qquad n\ge3 $$

Barisannya adalah $1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\ldots$. Contohnya $F_6=F_5+F_4=5+3=8$. Aturan yang menyatakan suku melalui suku sebelumnya disebut aturan rekursif.

Sebagian sumber memakai indeks awal $F_0=0$, $F_1=1$. Nilai sukunya tidak boleh dibandingkan tanpa memeriksa konvensi indeks. Semua soal halaman ini menggunakan $F_1=F_2=1$ kecuali menyatakan nilai awal lain.

Bukan aritmetika atau geometri

Selisih berurutannya $0,1,1,2,3,\ldots$ tidak tetap. Rasio berurutannya juga tidak tetap: $1$, 2, $3/2$, $5/3$, dan seterusnya. Maka barisan Fibonacci ini bukan barisan aritmetika maupun geometri.

Jangan memakai $a+(n-1)b$ atau $ar^{n-1}$ untuk menghitung sukunya. Susun suku berikutnya dengan aturan penjumlahan dua suku sebelumnya.

Mengamati pola genap dan ganjil

Tiga suku pertama memiliki pola ganjil, ganjil, genap. Menjumlahkan ganjil dengan genap menghasilkan ganjil, dan dua ganjil menghasilkan genap. Pola tersebut berulang setiap tiga suku. Jadi $F_3,F_6,F_9,\ldots$ genap.

Kesimpulan ini berasal dari aturan rekursif dan nilai awal, bukan hanya dari melihat satu atau dua contoh. Jika nilai awal diubah, pola genap-ganjilnya perlu diperiksa kembali.

Jumlah beberapa suku

Untuk konvensi $F_1=F_2=1$, berlaku:

$$ F_1+F_2+\cdots+F_n=F_{n+2}-1 $$

Mengapa? Dari aturan rekursif, $F_k=F_{k+2}-F_{k+1}$. Saat dijumlahkan dari $k=1$ sampai $n$, suku tengah saling menghapus dan tersisa $F_{n+2}-F_2=F_{n+2}-1$.

Contoh jumlah enam suku pertama adalah $1+1+2+3+5+8=20$. Rumus memberi $F_8-1=21-1=20$.

Aturan serupa, nilai awal berbeda

Jika $G_1=2$, $G_2=3$, dan $G_n=G_{n-1}+G_{n-2}$, diperoleh $2,3,5,8,13,\ldots$. Cara menghitung suku berikutnya sama, tetapi nilai tiap indeks berbeda dari $F_n$.

Rumus jumlah khusus di atas diturunkan memakai $F_2=1$. Jangan memindahkannya ke setiap barisan rekursif tanpa memeriksa nilai awal. Untuk $G_n$ tadi, penjumlahan dengan cara yang sama memberi $G_1+\cdots+G_n=G_{n+2}-G_2$.

Cek pemahaman

1. Tentukan $F_7$.
2. Apakah $F_{12}$ genap atau ganjil?
3. Hitung jumlah lima suku pertama $F_n$.

Pembahasan

1. $F_7=F_6+F_5=8+5=13$.
2. Genap, karena indeks 12 merupakan kelipatan 3.
3. $1+1+2+3+5=12$, atau $F_7-1=13-1=12$.

Ingat kembali

Aturan rekursif memerlukan nilai awal yang jelas. Satu aturan penjumlahan tidak otomatis membuat barisan menjadi aritmetika atau geometri.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, contoh, dan soal baru berdasarkan Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi), 2023, Bab 2, pengayaan Fibonacci, halaman 68-69 (halaman PDF 84-85).